Question

（2010•青浦区二模）如图，直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），向下平移直线OA，与反比例函数的图象交于点B（6，m）与y轴交于点C，
（1）求直线BC的解析式；
（2）求经过A、B、C三点的二次函数的解析式；
（3）设经过A、B、C三点的二次函数图象的顶点为D，对称轴与x轴的交点为E．
问：在二次函数的对称轴上是否存在一点P，使以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据点A的坐标，即可确定直线OA以及反比例函数的解析式，根据所得反比例函数解析式即可确定点B的坐标，而OA、BC平行，那么它们的斜率相同，由此可确定直线BC的解析式；
（2）根据直线BC的解析式可求得C点坐标，然后可利用待定系数法求得该抛物线的解析式；
（3）根据（2）所得抛物线的解析式，可求得顶点D的坐标，即可得到BD、BC、CD的长，利用勾股定理逆定理即可判定△BCD是直角三角形，且∠BDC=90°，根据抛物线对称轴方程可得到E点坐标，进而可求得OE的长，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，已知∠BDC=∠PEO=90°，那么有两种情况需要考虑：
①△PEO∽△BDC，②△OEP∽△BDC．
根据上面两组不同的相似三角形所得不同的比例线段，即可得到PE的长，进而求出P点的坐标．（需要注意的是P点可能在E点上方也可能在E点下方）
【解析】
（1）由直线OA与反比例函数的图象交于点A（3，3），
得直线OA为：y=x，双曲线为：，
点B（6，m）代入得，点B（6，），（1分）
设直线BC的解析式为y=x+b，由直线BC经过点B，
将x=6，，代入y=x+b得：，（1分）
所以，直线BC的解析式为；（1分）

（2）由直线得点C（0，），
设经过A、B、C三点的二次函数的解析式为
将A、B两点的坐标代入，得：
，（1分）
解得（1分）
所以，抛物线的解析式为；（1分）

（3）存在．
把配方得，
所以得点D（4，），对称轴为直线x=4（1分）
得对称轴与x轴交点的坐标为E（4，0）．（1分）
由BD=，BC=，CD=，得CD2=BC2+BD2，所以，∠DBC=90°（1分）
又∠PEO=90°，若以O、E、P为顶点的三角形与△BCD相似，则有：
①，即，得，有P1（4，），P2（4，）
②，即，得PE=12，有P3（4，12），P4（4，-12）（3分）
所以，点P的坐标为（4，），（4，），（4，12），（4，-12）．