Question

在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，AB=CD=4，BC=5，∠B的平分线交DC于点E，交AD的延长线于点F．
（1）如图（1），若∠C的平分线交BE于点G，写出图中所有的相似三角形（不必证明）；
（2）在（1）的条件下求BG的长；
（3）若点P为BE上动点，以点P为圆心，BP为半径的⊙P与线段BC交于点Q（如图（2）），请直接写出当BP取什么范围内值时，①点A在⊙P内；②点A在⊙P内而点E在⊙P外．

Answer

（1）利用平行线的性质和角平分线定义找到相等的角，进一步根据两角对应相等证明三角形相似；
（2）根据平行线的性质和角平分线定义，得∠ABE=∠AFB，则AB=AF=4，则DF=1；根据平行线分线段成比例定理求得DE和CE的长；根据等腰梯形的性质和角平分线定义，得BG=CG；设BG=CG=x，根据△FDE∽△CGE，求得BG的长；
（3）根据点和圆的位置关系与数量之间的联系进行分析．
【解析】
（1）△ABF∽△GBC，△FDE∽△CGE∽△BCE．

（2）∵BE平分∠B，
∴∠ABE=∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠AFB=∠EBC，
∴∠ABE=∠AFB，
∴AB=AF．
∴AF=4，DF=1．
∵AD∥BC，
∴DF：BC=DE：EC，
∴DE=，CE=．
∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠BCD=∠ABC．
∵CG平分∠BCD，BE平分∠ABC，
∴∠CBG=∠BCG，
∴BG=CG．
设BG=CG=x，则由△FDE∽△CGE，得
DF：CG=DE：GE，
∴GE=x．
又由△CGE∽△BCE，得
EC2=EG•EB，
即=x•（x+x），
∴x=，
即BG=．

（3）①连接AP，当BP=AP时，点A在圆P上，此时△ABP∽△ABF，求得BP=，
即BP＞AP时，点A在⊙P内．
∴当＜AP≤时，点A在⊙P内．
②根据①求得BE=，
∴BP＜BE，即BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外
∴当＜BP＜时，点A在⊙P内而点E在⊙P外．