Question

（2010•杨浦区二模）已知二次函数y=x²+bx+c的图象过点A（-1，3）和B（2，0），直线AB交y轴于点C，二次函数图象的顶点为D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P在射线AB上（不与点C重合），且△AOC∽△APO，试求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下求tan∠APD的值．

Answer

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求得待定系数的值；
（2）由于P、C不重合，若△AOC∽△APO，只有一种情况，即∠AOC与∠APO对应相等，可根据相似三角形得到的比例线段求出AP的长；然后根据直线AC的解析式设出P点的坐标，根据P、A的坐标表示出AP的长，联立上面得到的AP的值，即可求出P点的坐标；
（3）根据P点的坐标，易求得∠PBH=45°；连接BD后发现∠OBD=45°，由此可证得∠PBD=90°，那么∠APD的正切值即为BD、PB的比，由此得解．
【解析】
（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象过点A（-1，3）和B（2，0），
∴．（2分）
解得 b=-2，c=0．
∴y=x2-2x；                                        （2分）

（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，则．
解得 k=-1，b=2．
∴直线AB的解析式为y=-x+2，（1分）
∴C（0，2）．（1分）
∵点P在射线AB上，且△AOC∽△APO，
∴∠A=∠A，
∴AO2=AC×AP，即，
∴．（1分）
∵点P在直线AB上，
∴设P（x，2-x），
∴，
解得 x=4或-6（舍），
∴P（4，-2）．（1分）

（3）∵y=x2-2x，
∴顶点D（1，-1）．（1分）
连BD，作PH⊥x轴．
∵B（2，0），P（4，-2），
∴∠OBD=45°，∠HBP=45°，
∴∠DBP=90°，（1分）
∴tan∠APD=．                         （2分）