Question

（2010•闸北区二模）如图，在直角坐标平面内有点A（6，0），B（0，8），C（-4，0），点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．
（1）求证：MN：NP为定值；
（2）若△BNP与△MNA相似，求CM的长；
（3）若△BNP是等腰三角形，求CM的长．

Answer

（1）过点N作NH⊥x轴于点H，然后分两种情况进行讨论，综合两种情况，求得MN：NP为定值．
（2）当△BNP与△MNA相似时，当点M在CO上时，只可能是∠MNB=∠MNA=90°，所以△BNP∽△MNA∽△BOA，所以，
所以，，即；当点M在OA上时，只可能是∠NBP=∠NMA，所以∠PBA=∠PMO，根据题意可以判定不成立，所以．
（3）由于等腰三角形的特殊性质，应分三种情况进行讨论，即BP=BN，PB=PN，NB=NP三种情况进行讨论．
证明：（1）过点N作NH⊥x轴于点H，
设AN=5k，得：AH=3k，CM=2k，
①当点M在CO上时，点N在线段AB上时：
∴OH=6-3k，OM=4-2k，
∴MH=10-5k，
∵PO∥NH，
∴，
②当点M在OA上时，点N在线段AB的延长线上时：
∴OH=3k-6，OM=2k-4，∴MH=5k-10，
∵PO∥NH，
∴；
【解析】
（2）当△BNP与△MNA相似时：
①当点M在CO上时，只可能是∠MNB=∠MNA=90°，
∴△BNP∽△MNA∽△BOA，∴，
∴，，，
②当点M在OA上时，只可能是∠NBP=∠NMA，
∴∠PBA=∠PMO，

∵
∴∠PBA≠∠PMO，矛盾∴不成立；

（3）∵，，∴，，
①当点M在CO上时，BN=10-5k，
（ⅰ）BP=BN，，，；
（ⅱ）PB=PN，则∠PNB=∠PBN，∵∠PNB＞∠BAC＞∠PBN，矛盾，∴不成立；
（ⅲ）NB=NP，则∠NBP=∠NPB
∵∠NPB=∠MNH，∠NBP=∠ANH，∴∠MNH=∠ANH
又∵NH⊥MA，可证△MNA为等腰三角形，
∴MH=AH，∴10-5k=3k，∴，；
②当点M在OA上时，BN=5k-10．
（ⅰ）BP=BN，，，；
（ⅱ）PB=PN或NB=NP∵∠PBN＞90°，∴不成立．