Question

（2010•巴中）已知如图所示，△ABC中∠A=∠B=30°，CD是△ABC的角平分线，以C为圆心，CD为半径画圆，交CA所在直线于E、F两点，连接DE、DF．
（1）求证：直线AB是⊙C的切线．
（2）若AC=10cm，求DF的长．

Answer

（1）证CD⊥AB即可．根据等腰三角形性质易证；
（2）根据已知角的度数可证△CDE是等边三角形，△ADE是等腰三角形，得到AE=EC=CF．解直角△DEF求解．
（1）证明：∵∠A=∠B，
∴AC=BC．
∵CD是△ABC的角平分线，
∴CD⊥AB．
∴直线AB是⊙C的切线．

（2）【解析】
∵CD⊥AB，∠A=30°，
∴∠ACD=60°．
又CD=CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴CE=DE，∠CDE=60°．
∴∠ADE=30°=∠A，
∴AE=DE．
∴AE=EC=CF=AC=5cm．
∵EF是直径，∴∠EDF=90°．
∴DF=EF•sin60°=10×=5．