Question

已知如图，抛物线y=ax²+bx-a的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，顶点坐标为C（0，-4），直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=ax²+bx-a是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

Answer

（1）由于抛物线的顶点坐标在y轴上，且坐标为（0，-4），则抛物线的对称轴为y轴，即b=0，a=4，由此确定该抛物线的解析式．
（2）设出点P的纵坐标，根据抛物线的解析式，可求得B点的坐标，进而可得OC=4OB；△BOC和△ODB中，可用m表示出BD的长，若两个直角三角形相似，那么直角边对应成比例，即PD=4BD或BD=4PD，由此求得点P的纵坐标，进而可得到点P的坐标．
（3）若四边形ABPQ为平行四边形，那么PQ=AB=2，那么将点P的坐标向左平移2个单位即可得到点Q的坐标，然后将点Q的坐标代入抛物线的解析式中即可求得m的值．
【解析】
（1）∵抛物线y=ax2+bx-a的顶点坐标为C（0，-4），
∴b=0，a=4；
∴抛物线的解析式为y=4x2-4．（2分）

（2）设P（m，n），由4x2-4=0，
∴x=±1，
∴A（-1，0），B（1，0）；
∵△OBC∽△PBD，
若∠OCB=∠PBD，则，
∴，
∴，
此时；（4分）
若∠OCB=∠BPD，则，
∴；
∴n=4（m-1），
此时P（m，4（m-1））．（6分）

（3）假设抛物线存在点Q（x，y）使四边形ABPQ为平行四边形，
当P（m，4m-4）时，AP的中点R的坐标为：R，
又∵R又是BQ的中点，
∴，Q（m-2，4（m-1））；
∵Q在抛物线上，
∴4（m-1）=4（m-2）2-4，
∴m-1=m2-4m+4-1，
∴m2-5m+4=0，
∴m=4或m=1（舍去）；（8分）
当P点坐标为时，
同理，，；
∵点Q在抛物线上，
∴；
∴16m2-65m+49=0，或m=1（舍去）；（10分）
∴当m=4或时，AP与BQ互相平分，四边形ABPQ是平行四边形；
∴m=4或为所求．（11分）
（3）另【解析】
可用AB=PQ=2，
∴或Q（m-2，4（m-1）），
∵点Q在抛物线上，
或4（m-2）2-4=4（m-1）；
解之或m=1，或m=4或m=1，
∵m＞1，
∴m=4或．