Question

（2010•乐山）勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系，其中蕴含着丰富的科学知识和人文价值．如图所示，是一棵由正方形和含30°角的直角三角形按一定规律长成的勾股树，树主干自下而上第一个正方形和第一个直角三角形的面积之和为S₁，第二个正方形和第二个直角三角形的面积之和为S₂，…，第n个正方形和第n个直角三角形的面积之和为S_n．设第一个正方形的边长为1．
请解答下列问题：
（1）S₁=    ；
（2）通过探究，用含n的代数式表示S_n，则S_n=    ．

Answer

根据正方形的面积公式求出面积，再根据直角三角形三条边的关系运用勾股定理求出三角形的直角边，求出S1，然后利用正方形与三角形面积扩大与缩小的规律推导出公式．
【解析】
（1）∵第一个正方形的边长为1，
∴正方形的面积为1，
又∵直角三角形一个角为30°，
∴三角形的一条直角边为，另一条直角边就是=，
∴三角形的面积为÷2=，
∴S1=1+；

（2）∵第二个正方形的边长为，它的面积就是，也就是第一个正方形面积的，
同理，第二个三角形的面积也是第一个三角形的面积的，
∴S2=（1+）•，依此类推，S3=（1+）••，即S3=（1+）•，
Sn=（）•（n为整数）．