Question

（2010•凉山州）有一张矩形纸片ABCD，E、F分别是BC、AD上的点（但不与顶点重合），若EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，设AB=m，AD=n，BE=x．
（1）求证：AF=EC；
（2）用剪刀将该纸片沿直线EF剪开后，再将梯形纸片ABEF沿AB对称翻折，平移拼接在梯形ECDF的下方，使一底边重合，一腰落在DC的延长线上，拼接后，下方梯形记作EE′B′C．当x：n为何值时，直线E′E经过原矩形的顶点D．

Answer

（1）根据题知，EF将矩形分割为两个面积相等的梯形，而且两个梯形腰相等，利用面积相等易证；
（2）可先假设直线E′E经过原矩形的顶点D，再根据梯形纸片沿着AB翻折后可知DC=BC=m，然后利用中位线定理可知DE=E′E 2EC=E′B′然后分别代入可求：
（1）证明：∵EF将矩形ABCD分成面积相等的两部分，
∴（x+AF）•m=（n-x+n-AF）•m，（2分）
∴2AF=2n-2x，
∴AF=n-x，（3分）
又∵EC=BC-BE=n-x，
∴AF=EC；（4分）

（2）【解析】
当直线E′E经过原矩形的顶点D时，如图
∵DC=B′C=m，EC∥E′B′，
∴DE=E′E．
∴2EC=E′B′．
即2（n-x）=x，
∴2n=3x．（7分）
∴x：n=2：3．（9分）