Question

（2009•天水）在正方形ABCD中，点P是CD边上一动点，连接PA，分别过点B、D作BE⊥PA、DF⊥PA，垂足分别为E、F，如图①．
（1）请探究BE、DF、EF这三条线段的长度具有怎样的数量关系？若点P在DC的延长线上，如图②，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢，如图③，请分别直接写出结论；
（2）就（1）中的三个结论选择一个加以证明．

Answer

根据正方形的性质可知：△ABE≌△DAF，利用全等三角形的性质，BE=AF，AE=DF，得出BE-DF=EF；
同理可得出图（2）DF-BE=EF；图（3）中的DF+BE=EF．
【解析】
（1）在图①中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：BE-DF=EF；
在图②中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF-BE=EF；
在图③中BE、DF、EF这三条线段长度具有这样的数量关系：DF+BE=EF．

（2）对图①中结论证明如下：
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，
∵在△BAE和△ADF中，
，
∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF-AE=EF，
∴BE-DF=EF．