Question

（2010•绵阳）如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB=a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为    ．

Answer

根据折叠的性质知AB=A′B=a；而O是Rt△ABD斜边AD的中点，则有AO=OB，由此可证得△ABO是等边三角形，那么∠A′BO=∠ABO=60°，进而可求出∠A′BM=15°；当A′M最小时，A′M⊥BC，此时△A′BM是直角三角形，取A′B的中点N，连接MN，那么∠A′NM=30°，A′N=MN=A′B=a；过M作A′B的垂线，设垂足为H，在Rt△MNH中，根据∠A′NM的度数即可表示出NH，MH的长，进而可求出A′H的长，即可在Rt△A′MH中，根据勾股定理求出A′M的长．
【解析】
由折叠的性质知：AB=A′B=a，∠ABO=∠A′BO；
∵O是Rt△ABD斜边AD的中点，
∴OA=OB，即△ABO是等边三角形；
∴∠ABO=∠A′BO=60°；
∵∠ABD=90°，∠CBD=45°，
∴∠ABC=∠ABD+∠CBD=135°，
∴∠A′BM=135°-120°=15°；
易知当A′M⊥BC时，A′M最短；
过M作MH⊥A′B于H，取A′B的中点N，连接MN，如右下图；
在Rt△A′BM中，N是斜边A′B的中点，则BN=NM=A′N=a，∠B=∠NMB=15°；
∴∠A′NM=30°；
∴MH=MN=a，
∴NH==a；
∴A′H=A′N-NH=a；
由勾股定理得：A′M===a．