Question

如图，已知在⊙O中，CD过圆心O交⊙O于点P，作AB⊥CD，垂足为D，过点C任作一条弦CF交AB于点E．
（1）求证：CB²=CE•CF；
（2）连接BP，若BD：CD=2：3，求sin∠BPD的值．

Answer

（1）连接AC、AF，根据已知条件，易证△ACE∽△FCA，所以=，即AC2=CE．CF．
（2）连接BP，因为BD：CD=2：3，设BD=2k，CD=3k，在Rt△BCD中，BC==，所以sin∠CBD===sin∠BPD．
（1）证明：连接AC、AF，
∵CD过圆心，且AB⊥CD，
∴AC=BC，
∴∠CAE=∠F，
又∵∠ACE=∠ACF，
∴△ACE∽△FCA，
∴=，
即AC2=CE．CF，
∴CB2=CE．CF；

（2）【解析】
连接BP，
∵CP是⊙O直径，
∴∠CBP=90°，
∵BD⊥CP，
∴∠BPD=∠CBD，
∵BD：CD=2：3，
设BD=2k，CD=3k，
在Rt△BCD中，BC==，
∴sin∠CBD===sin∠BPD．