Question

（2010•南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE=BC．
（1）求∠BAC的度数；
（2）将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H；求证：四边形AFHG是正方形；
（3）若BD=6，CD=4，求AD的长．

Answer

（1）连接OB、OC，由垂径定理知E是BC的中点，而OE=BC，可判定△BOC是直角三角形，则∠BOC=90°，根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系即可求得∠BAC的度数；
（2）由折叠的性质可得到的条件是：①AG=AD=AF，②∠GAF=∠GAD+∠DAF=2∠BAC=90°，且∠G=∠F=90°；由②可判定四边形AGHF是矩形，联立①的结论可证得四边形AGHF是正方形；
（3）设AD=x，由折叠的性质可得：AD=AF=x（即正方形的边长为x），BG=BD=6，CF=CD=4；进而可用x表示出BH、HC的长，即可在Rt△BHC中，由勾股定理求得AD的长．
（1）【解析】
连接OB和OC；
∵OE⊥BC，∴BE=CE；
∵OE=BC，∴∠BOC=90°，∴∠BAC=45°；（2分）

（2）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°；
由折叠可知，AG=AF=AD，∠AGH=∠AFH=90°，
∠BAG=∠BAD，∠CAF=∠CAD，（3分）
∴∠BAG+∠CAF=∠BAD+∠CAD=∠BAC=45°；
∴∠GAF=∠BAG+∠CAF+∠BAC=90°；
∴四边形AFHG是正方形；（5分）

（3）【解析】
由（2）得，∠BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4；
设AD的长为x，则BH=GH-GB=x-6，CH=HF-CF=x-4．（7分）
在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，∴（x-6）2+（x-4）2=102；
解得，x1=12，x2=-2（不合题意，舍去）；
∴AD=12． （8分）