Question

（2010•攀枝花）如图所示，已知直线y=x与抛物线y=ax²+b（a≠0）交于A（-4，-2），B（6，3）两点．抛物线与y轴的交点为C．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）在抛物线上存在点M，是△MAB是以AB为底边的等腰三角形，求点M的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P使得△PAC的面积是△ABC面积的？若存在，试求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据A、B的坐标即可求出抛物线的解析式；
（2）若等腰△MAB以AB为底边，则M必为AB的垂直平分线与抛物线的交点；根据A、B的坐标，易求出其中点的坐标，进而可求出其垂直平分线的解析式，联立抛物线的解析式即可得到M点的坐标；
（3）由于△BAC与△PAC同底不等高，那么它们的面积比等于底边的比，可过B作BF⊥AC，求出△ABC的面积后即可得到BF的长；可在BF上截取BK=BF，那么P点必为过K点且平行于AC的直线与抛物线的交点；可分别过A、F作y轴的垂线，设垂足为G、H，求出∠GAC、∠HFC的度数，从而可得到∠BNx的度数，而BN的长求得，即可得出NK的值，从而求出K点的坐标；易求出直线AC的解析式，由于过K的直线与AC平行，那么它们的斜率相同，由此可求出直线KP的解析式，联立抛物线的解析式即可求得P点的坐标．
【解析】
（1）由题意，得：，
解得；
∴抛物线的解析式为y=x2-6；

（2）如图1，取AB的中点E，则E（1，）；过E作直线l垂直于AB；
∵直线AB的解析式为：y=x，∴可设直线l的解析式为y=-2x+b；
∵直线l过E（1，），则有：=-2+b，b=；
∴直线l的解析式为：y=-2x+；联立抛物线的解析式有：
，
解得，
∴M（-4+5，-10）或（-4-5，+10）；

（3）过B作BF⊥AC于F，交x轴于N；
过F作FH⊥y轴于H，过A作AG⊥y轴于G；
在BF上截取BK=BF；
∵A（-4，-2），B（6，3），C（0，-6）
∴S△ABC=OC×|xB-xA|
=×6×10=30；
Rt△AGC中，AG=CG=4，则∠GAC=∠HFC=45°，AC=4；
∵∠BFC=90°，
∴∠BNx=∠BFH=90°-45°=45°；
易知BN=3，BK=BF=×=×=；
∴NK=BN-BK=；
由于∠BNx=45°，可求得K（，）；
易知直线AC的解析式为：y=-x-6，过K作直线m平行于AC，可设直线m的解析式为：y=-x+h，则：
-+h=，h=；
∴直线m的解析式为y=-x+；
由于△ABC与△PAC等底不等高，
则面积比等于高的比，由于KF=BF，那么P点必为直线m与抛物线的交点，联立直线m与抛物线的解析式可得：
，
解得，；
∴P点的坐标为（5，）或（-9，）．