Question

（2009•鄂州）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM=|CE-EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．
（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由；
（2）令m=，请问m是否为定值？若是，请求出m的值；若不是，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若CO=1，CE=，Q为AE上一点且QF=，抛物线y=mx²+bx+c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式；
（4）在（3）的条件下，若抛物线y=mx²+bx+c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似？若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据折叠的条件得到EO=EF，在直角△CEF中，斜边大于直角边，因而EF＞EC故EO＞EC
（2）四边形CFGH与四边形CNMO的面积可以用直角△CEF的面积，可以证明四边形CFGH与四边形CNMO的面积相等．因而就可以求出m的值．
（3）已知OC=1，可以得到C点的坐标是（0，1），易证△EFQ是等边三角形，已知QF=就可以求出Q点的坐标，把C，Q点的坐标代入函数y=mx2+bx+c，就可以求出b，c的值，就可以得到函数的解析式．
（4）过Q作y轴的垂线，已知E，Q点的坐标，可以根据三角形相似，求出OA的长，就可以求出P点的横坐标，进而求出P点的坐标．
若△PBK与△AEF相似，根据相似三角形的对应边的比相等，可以求出BK的值，即得到K的坐标．
【解析】
（1）EO＞EC，理由如下：
由折叠知，EO=EF，在Rt△EFC中，EF为斜边，
∴EF＞EC，
故EO＞EC．

（2）m为定值，理由如下：
∵S四边形CFGH=CF2=EF2-EC2=EO2-EC2=（EO+EC）（EO-EC）=CO•（EO-EC），
S四边形CMNO=CM•CO=|CE-EO|•CO=（EO-EC）•CO，
∴．

（3）∵CO=1，，
∴EF=EO=，
∴cos∠FEC=，
∴∠FEC=60°，
∴，
∴△EFQ为等边三角形，．
作QI⊥EO于I，EI=，IQ=，
∴IO=，
∴Q点坐标为．
∵抛物线y=mx2+bx+c过点C（0，1），Q，m=1，
∴可求得，c=1，
∴抛物线解析式为．

（4）由（3），，
当时，＜AB，
∴P点坐标为，
∴BP=AO．
方法1：若△PBK与△AEF相似，而△AEF≌△AEO，则分情况如下：
①时，BK=，
∴K点坐标为或；
②时，，
∴K点坐标为或（0，1）．
故直线KP与y轴交点T的坐标为．
方法2：若△BPK与△AEF相似，由（3）得：∠BPK=30°或60°．
过P作PR⊥y轴于R，则∠RTP=60°或30°．
①当∠RTP=30°时，，
②当∠RTP=60°时，，
∴．