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(2006•资阳)如图,已知抛物线l1:y=x2-4的图象与x轴相交于A、C两点,B是抛物线l1上的动点(B不与A、C重合),抛物线l2与l1关于x轴对称,以AC为对角线的平行四边形ABCD的第四个顶点为D.
(1)求l2的解析式;
(2)求证:点D一定在l2上;
(3)▱ABCD能否为矩形?如果能为矩形,求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件,则求此矩形的面积);如果不能为矩形,请说明理由.
注:计算结果不取近似值.

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(1)根据l1的解析式可求l1与x轴的交点为A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l2与l1关于x轴对称,实际上是l2与l1的顶点关于x轴对称,即l2的顶点为(0,4),设顶点式,可求抛物线l2的解析式; (2)平行四边形是中心对称图形,A、C关于原点对称,则B、D也关于原点对称,设点B(m,n),则点D(-m,-n),由于B(m,n)点是y=x2-4上任意一点,则n=m2-4,∴-n=-(m2-4)=-m2+4=-(-m)2+4,可知点D(-m,-n)在l2y=-x2+4的图象上; (3)构造∠ABC=90°是关键,连接OB,只要证明OB=OC即可,为求OB长,过点B作BH⊥x轴于H,用B的坐标为(x,x2-4),可求OB,用OB=OC求x,再计算面积. 【解析】 (1)设l2的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0), ∵l1与x轴的交点为A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),l2与l1关于x轴对称, ∴l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4),(1分) ∴(2分) ∴a=-1,b=0,c=4, 即l2的解析式为y=-x2+4.(3分) (还可利用顶点式、对称性关系等方法解答) (2)设点B(m,n)为l1:y=x2-4上任意一点,则n=m2-4,(*) ∵四边形ABCD′是平行四边形,点A、C关于原点O对称, ∴B、D′关于原点O对称,(4分) ∴点D′的坐标为D′(-m,-n). 由式方程式可知,-n=-(m2-4)=-(-m)2+4, 即点D′的坐标满足y=-x2+4,又D与D′关于y轴对称, ∴点D在l2上.(5分) (3)▱ABCD能为矩形.(6分) 过点B作BH⊥x轴于H,由点B在l1:y=x2-4上,可设点B的坐标为(x,x2-4), 则OH=|x|,BH=|x2-4|. 易知,当且仅当BO=AO=2时,▱ABCD为矩形. 在Rt△OBH中,由勾股定理得,|x|2+|x2-4|2=22, (x2-4)(x2-3)=0, ∴x=±2(舍去)、x=±.(7分) 所以,当点B坐标为B(,-1)或B′(-,-1)时,▱ABCD为矩形, 此时,点D的坐标分别是D(-,1)、D′(,1). 因此,符合条件的矩形有且只有2个,即矩形ABCD和矩形AB′CD′.(8分) 设直线AB与y轴交于E,显然,△AOE∽△AHB, ∴=, ∴. ∴EO=4-2.(9分) 由该图形的对称性知矩形ABCD与矩形AB′CD′重合部分是菱形,其面积为 S=2S△ACE=2××AC×EO=2××4×(4-2)=16-8.(10分) (还可求出直线AB与y轴交点E的坐标解答)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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