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(2006•重庆)已知:m、n是方程x2-6x+5=0的两个实数根,且m<n,抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点manfen5.com 满分网A(m,0)、B(0,n).
(1)求这个抛物线的解析式;
(2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C,抛物线的顶点为D,试求出点C、D的坐标和△BCD的面积;
(3)P是线段OC上的一点,过点P作PH⊥x轴,与抛物线交于H点,若直线BC把△PCH分成面积之比为2:3的两部分,请求出P点的坐标.
(1)通过解方程即可求出m、n的值,那么A、B两点的坐标就可求出.然后根据A、B两点的坐标即可求出抛物线的解析式. (2)根据(1)得出的抛物线的解析式即可求出C、D两点的坐标. 由于△BCD的面积无法直接求出,可用其他图形的面积的“和,差关系”来求出.过D作DM⊥x轴于M,那么△BCD的面积=梯形DMOB的面积+△DCM的面积-△BOC的面积.由此可求出△BCD的面积. (3)由于△PCH被直线BC分成的两个小三角形等高,因此面积比就等于底边的比.如果设PH与BC的交点为E,那么EH就是抛物线与直线BC的函数值的差,而EP就是E点的纵坐标.然后可根据直线BC的解析式设出E点的坐标,然后表示出EH,EP的长.进而可分两种情况进行讨论:①当EH=EP时;②当EH=EP时.由此可得出两个不同的关于E点横坐标的方程即可求出E点的坐标.也就求出了P点的坐标. 【解析】 (1)解方程x2-6x+5=0, 得x1=5,x2=1 由m<n,有m=1,n=5 所以点A、B的坐标分别为A(1,0),B(0,5). 将A(1,0),B(0,5)的坐标分别代入y=-x2+bx+c. 得 解这个方程组,得 所以,抛物线的解析式为y=-x2-4x+5 (2)由y=-x2-4x+5,令y=0,得-x2-4x+5=0 解这个方程,得x1=-5,x2=1 所以C点的坐标为(-5,0).由顶点坐标公式计算,得点D(-2,9). 过D作x轴的垂线交x轴于M. 则S△DMC=×9×(5-2)= S梯形MDBO=×2×(9+5)=14, S△BOC=×5×5= 所以,S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC-S△BOC=14+-=15. 答:点C、D的坐标和△BCD的面积分别是:(-5,0)、(-2,9)、15; (3)设P点的坐标为(a,0) 因为线段BC过B、C两点, 所以BC所在的直线方程为y=x+5. 那么,PH与直线BC的交点坐标为E(a,a+5), PH与抛物线y=-x2-4x+5的交点坐标为H(a,-a2-4a+5). 由题意,得①EH=EP, 即(-a2-4a+5)-(a+5)=(a+5) 解这个方程,得a=-或a=-5(舍去) ②EH=EP,即(-a2-4a+5)-(a+5)=(a+5) 解这个方程,得a=-或a=-5(舍去), P点的坐标为(-,0)或(-,0).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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