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(2006•重庆)如图,△ABC内接于⊙O,∠A所对弧的度数为120度.∠ABC...

(2006•重庆)如图,△ABC内接于⊙O,∠A所对弧的度数为120度.∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E,CE、BD相交于点F.以下四个结论:①cos∠BFE=manfen5.com 满分网;②BC=BD;③EF=FD;④BF=2DF.其中结论一定正确的序号数是   
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①由于∠A所对弧的度数为120°,根据圆周角定理可知∠A=60°;在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠A=120°,即∠FBC+∠FCB=60°,而∠BFE正好是△BFC的外角,即∠BFE=∠FBC+∠FCB=60°,即cos∠BFE=;故正确; ②若BC=BD,需满足一个条件:∠BCD=∠BDC,且看这两个角的表达式:∠BCD=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA;∠BDC=∠DBA+∠A=60°+∠DBA;联立两式,可得∠DBA=20°;此时∠ABC=40°,而没有任何条件可以说明∠ABC的度数是40°,即可得出本选项错误. ③由于F是∠ABC和∠ACB角平分线的交点,因此F是△ABC的内心,可过F作AB、AC的垂线,通过证构建的直角三角形全等,得出FE=FD的结论,因结论正确; ④若BF=2DF,则F是△ABC的重心,即三边中线的交点,而题目给出的条件是F是△ABC的内心,显然两者的结论相矛盾,因此不正确. 所以本题正确的结论:①③. 【解析】 ∵∠A所对弧的度数为120° ∴∠A=60° ∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120° ∵∠ABC、∠ACB的角平分线分别是BD,CE ∴∠CBF+∠BCF=(∠ABC+∠BCA)=60°=∠BFE ∴cos∠BFE=, ∴即cos∠BFE=;故①正确; ∵∠BDC=∠A+∠ABC=60°+∠DBA ∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA 若BC=BD成立,则应有∠BDC=∠BCA 应有60°+∠DBA=120°-2∠DBA, 即∠DBA=20°, 此时∠ABC=40°, ∴∠BCD=∠BDC=80°, 而根据题意,没有条件可以说明∠ABC是40°, 故②错误; ∵点F是△ABC内心,作FW⊥AC,FS⊥AB 则FW=FS,∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120° ∴∠SFE=∠WFD,△FSE≌△WFD ∴FD=FE,故③正确; 由于点F是内心而不是各边中线的交点,故BF=2DF不一定成立,因此④不正确. 因此本题正确的结论为①③. 故答案为:①③.
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