Question

（2010•天津）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于点A、B点A在点B的左侧，与y轴的正半轴交于点C，顶点为E．
（1）若b=2，c=3，求此时抛物线顶点E的坐标；
（2）将（1）中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S_△BCE=S_△ABC，求此时直线BC的解析式；
（3）将（1）中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC中满足S_△BCE=2S_△AOC，且顶点E恰好落在直线y=-4x+3上，求此时抛物线的解析式．

Answer

（1）已知了b、c的值，即可确定抛物线的解析式，通过配方或用公式法即可求出其顶点E的坐标；
（2）在抛物线向下平移的过程中，抛物线的形状没有发生变化，所以b值不变，变化的只是c的值；可用c表示出A、B、C的坐标，若S△BCE=S△ABC，那么两个三角形中BC边上的高就应该相等；可过E作EF∥BC，交x轴于F，根据平行线分线段成比例定理知AB=BF，由此可求出BF的长；易证得Rt△EDF∽Rt△COB，根据相似三角形所得到的成比例线段即可求出c的值，也就确定了抛物线的解析式，即可得到C、B的坐标，进而可用待定系数法求出直线BC的解析式；
（3）可设平移后抛物线的解析式为y=-（x-h）2+k，与（2）的方法类似，也是通过作平行线，求出BF、DF的长，进而根据相似三角形来求出h、k的关系式，进而可根据E点在直线y=-4x+3上求出h、k的值，进而可确定平移后的抛物线解析式．
【解析】
（1）当b=2，c=3时，抛物线的解析式为y=-x2+2x+3，即y=-（x-1）2+4；
∴抛物线顶点E的坐标为（1，4）（2分）

（2）将（1）中的抛物线向下平移，则顶点E在对称轴x=1上，有b=2，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+c（c＞0）；
∴此时，抛物线与y轴的交点为C（0，c），顶点为E（1，1+c）；
∵方程-x2+2x+c=0的两个根为，，
∴此时，抛物线与x轴的交点为A（1-，0），B（1+，0）；
如图，过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，则S△BCE=S△BCF
∵S△BCE=S△ABC，
∴S△BCF=S△ABC
∴
设对称轴x=1与x轴交于点D，
则
由EF∥CB，得∠EFD=∠CBO
∴Rt△EDF∽Rt△COB，有
∴结合题意，解得
∴点，
设直线BC的解析式为y=mx+n，则
，解得；
∴直线BC的解析式为；（6分）

（3）根据题意，设抛物线的顶点为E（h，k），h＞0，k＞0；
则抛物线的解析式为y=-（x-h）2+k，
此时，抛物线与y轴的交点为C，（0，-h2+k），
与x轴的交点为，，、
过点E作EF∥CB与x轴交于点F，连接CF，
则S△BCE=S△BCF；
由S△BCE=2S△AOC，
∴S△BCF=2S△AOC，得；
设该抛物线的对称轴与x轴交于点D；
则；
于是，由Rt△EDF∽Rt△COB，有
∴，即2h3+（2k-3h2）-3hk=0，
（2h-）（h-2）=0，
∵＞h＞0，
解得①，h=2（舍去），
∵点E（h，k）在直线y=-4x+3上，有k=-4h+3②
∴由①②，结合题意，解得
有k=1，
∴抛物线的解析式为．（10分）