Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，连接DE、CE，AD+BC=CD，以下结论：
（1）∠CED=90°；
（2）DE平分∠ADC；
（3）以AB为直径的圆与CD相切；
（4）以CD为直径的圆与AB相切；
（5）△CDE的面积等于梯形ABCD面积的一半．
其中正确结论的个数为（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer

先过E作EF∥BC，再过E作EG⊥CD，分别与CD交于F、G．
（1）由于EF∥BC∥AD，E是AB中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知DF=CF，即EF是梯形ABCD的中位线，那么EF=（AD+BC），而AD+BC=CDE，等量代换有EF=CD，利用直角三角形的判定可知△DEC是直角三角形，即∠DEC=90°；
（2）由EF∥BC∥AD，利用平行线的性质，可知∠1=∠DEF，又EF是Rt△DEC的中线，故∠DE=EF=CF，那么∠2=∠DEF，等量代换∠1=∠2，即DE平分∠ADC；
（3）由于EG⊥CD，∠A=90°，易得∠A=∠EGD，而∠1=∠2，ED=ED，利用AAS可证△AED≌△GED，那么
EA=EG=AB，而EG⊥CD，那么CD是⊙E的切线，即以AB为直径的圆与CD相切；
（4）由于∠A=90°，EF∥AD∥BC，那么∠BEC=90°，而EF=CD，所以AB是⊙F的切线，即以CD为直径的圆与AB相切；
（5）由（3）知△AED≌△GED，即S△AED=S△GED，AD=DG，而CD=AD+BC，易得CG=CB，同（2）的证法相同，可证∠BCE=∠GCE，和（3）的证法相同，可证△BCE≌△GCE，即S△BCE=S△GCE，易证
S△CDE=S梯形ABCD，即△CDE的面积等于梯形ABCD面积的一半．
【解析】
先过E作EF∥BC，再过E作EG⊥CD，分别与CD交于F、G．
（1）∵EF∥BC∥AD，E是AB中点，
∴AE：BE=CF：DF，AE=BE，
∴DF=CF，
∴EF是梯形ABCD的中位线，
∴EF=（AD+BC），
又∵AD+BC=CD，
∴EF=CD，
∴△DEC是直角三角形，
即∠DEC=90°；

（2）∵EF∥BC∥AD，
∴∠1=∠DEF，
又∵EF是Rt△DEC的中线，
∴DF=EF，
∴∠2=∠DEF，
∴∠1=∠2，
即DE平分∠ADC；

（3）∵EG⊥CD，∠A=90°，
∴∠A=∠EGD=90°，
又∵∠1=∠2，ED=ED，
∴△AED≌△GED，
∴EG=AE=AB，
又∵EG⊥CD，
∴CD是⊙E的切线，
即以AB为直径的圆与CD相切；

（4）∵∠A=90°，EF∥AD∥BC，
∴∠EBC=90°，
∴EF⊥AB，
又∵EF=CD，
∴AB是⊙F的切线，
即以CD为直径的圆与AB相切；

（5）由（3）知△AED≌△GED，
∴S△AED=S△GED，AD=DG，
又∵AD+BC=CD，
∴BC=CG，
同（2）一样，CE是∠BCD的平分线，
∴∠BCE=∠GCE，
∴△BCE≌△GCE，
∴S△BCE=S△GCE，
∴S△CDE=S梯形ABCD，
即△CDE的面积等于梯形ABCD面积的一半．
故此五个选项都正确，
故选D．