Question

如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于A，与大圆相交于点B，小圆的切线AC与大圆相交于D，OC平分∠ACB．
（1）证明：直线BC是小圆的切线；
（2）试证明：AC+AD=BC；
（3）若AB=8cm，BC=10cm，求大圆与小圆形成的圆环的面积．

Answer

（1）作OE⊥BC于E，可证OE=OA，
（2）连接OD，由（1）知AC=CE，再证△AOD≌△EOB，得AD=BE，
（3）由（2）可得BE=AD=BC-AC=10-=10-6=4cm，S圆环=S大圆-S小圆．
（1）证明：作OE⊥BC于E；
∵CA是圆O的切线，
∴OA⊥CA，
∵CO平分∠ACB，
∴OE=OA，
∵A在小圆O上，
∴E也在小圆O上，
∴BC是小圆的切线．

（2）证明：连接OD，
∵AC、BC是⊙O的切线，
∴AC=CE，
在直角三角形AOD与直角三角形EOB中，
∵OD=OB，OA=OE，
∴Rt△AOD≌Rt△EOB，得AD=BE，
∴BC=AD+AC．

（3）【解析】
由（2）可得BE=AD=BC-AC=10-=10-6=4cm，
S圆环=S大圆-S小圆
=π（OB2-OE2）
=π•BE2
=16π（cm2）．