Question

已知：抛物线经过点A（-1，0），B（0，3），C（2，3）三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求三角形BDE的面积；
（3）作∠BDE的平分线交线段BE于点F，求BF：FE的值．

Answer

（1）已知了抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求出该抛物线的解析式；
（2）D、E的坐标易求得，而△BDE的面积无法直接求得，可利用面积割补法来求解，过D作x轴的垂线DM，交BE于N，B、E的坐标已知，即可求出直线BE的解析式，将D点横坐标代入直线BE的解析式中，可求得N点的坐标，从而得到DN的长，以DN为底、OE为高，即可求得△BDE的面积；（也可理解为△BDN、△BNE的面积和）
（3）过QF⊥BE于Q，根据Q、B、F三点坐标，可求出∠DBP=∠OBE=45°，那么∠DBE=90°，则QF∥BD，已知DF是∠BDE的角平分线，可得到∠BDF=∠FDQ=∠DFQ，故DQ=QF，那么BF：EF=DQ：QE=QF：QE，即BF：EF=BD：DE，即∠BDE的正弦值，由此得解．
【解析】
（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，有：
，
解得
∴y=-x2+2x+3；（2分）

（2）易知D（1，4），E（3，0），
作DM⊥AE于M，交BE于N，
BE解析式为y=-x+3，
∴M（1，0），N（1，2），
∴DN=2，OE=3
S△BDE=S△DNB+S△DNE=DN•OM+DN•ME
=DN•OE=×2×3=3（4分）
∴△BDE面积为3；

（3）作DP⊥y轴于P，作QF⊥BE交DE于Q；
∵DP=PB=1，OB=OE=3，
∴∠PBD=∠EBO=45°，
∴∠EBD=90°
∴BD∥FQ，，
∴∠BDF=∠DFQ，（5分）
又∵DF为∠BDE平分线，
∴∠BDF=∠EDF，
∴∠EDF=∠DFQ，
∴QD=QF，
∴（6分）
∵，
∴．（7分）