Question

（2010•博野县三模）如图甲，操作：把正方形CGEF的对角线，CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M．
（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，直接写出答案即可；
（2）将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图乙），令CG=2BC其他条件不变，结论是否发生变化，并加以证明；
（2）将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图丙），其他条件不变．探究：线段MD，MF的位置及数量关系，并加以证明．

Answer

（1）利用测量或观察的方法即可作出判断；
（2）易证明△AMD≌△EMN，得到AD=EN，MD=MN，再根据CF=2AD，EF=2EN，得到：FD=FN．从而证得FM⊥MD，MF=MD；
（3）延长DM到N，使MN=MD，连接FD、FN、EN，延长EN与DC延长线交于点H．证明△DCF≌△NEF，即可得到线段MD，MF的位置及数量关系．
【解析】
（1）MD=MF，MD⊥MF；（2分）

（2）结论不变MD=MF，MD⊥MF，
证明：如图乙，延长DM交FE于N．
∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠CFE=90°，AD∥FE，
∴∠1=∠2．
在△AMD与△EMN中，
∵，
∴△AMD≌△EMN，
∴AD=EN，MD=MN，
∵CF=2AD，EF=2EN，
∴FD=FN．
又∵∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD；（6分）

（3）MD=MF，MD⊥MF，
证法一：如图丙，延长DM到N，
使MN=MD，连接FD、FN、EN，
延长EN与DC延长线交于点H．
在△AMD与△EMN中，
∵，
∴△AMD≌△EMN，
∴∠3=∠4，AD=NE．
又∵正方形ABCD、CGEF，
∴CF=EF，AD=DC，∠ADC=90°，
∠CFE=∠ADC=∠FEG=∠FCG=90°．
∴DC=NE．
∵∠3=∠4，
∴AD∥EH．
∴∠H=∠ADC=90°．
∵∠G=90°，∠5=∠6，
∴∠7=∠8．
∵∠7+∠DCF=∠8+∠FEN=90°，
∴∠DCF=∠FEN．
在△DCF与△NEF中，
∵，
∴△DCF≌△NEF，
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE．
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．（10分）
证法二：如图丙，过点E作AD的平行线分别交DM、DC的延长线于N、H，连接DF、FN．
∴∠ADC=∠H，∠3=∠4．
∵AM=ME，∠1=∠2，
∴△AMD≌△EMN，
∴DM=NM，AD=EN．
∵四边形ABCD、四边形CGEF是正方形，
∴AD=DC，FC=FE，∠ADC=∠FCG=∠CFE=90°，
∴∠H=90°，∠5=∠NEF，DC=NE．
∴∠DCF+∠7=∠5+∠7=90°，
∴∠DCF=∠5=∠NEF．
在△DCF与△NEF中，
∵，
∴△DCF≌△NEF．
∴FD=FN，∠DFC=∠NFE，
∵∠CFE=90°，
∴∠DFN=90°，
∴FM⊥MD，MF=MD．（10分）