Question

（2011•峨山县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点M在X轴上，⊙M与Y轴相切于O点，过点A（2，0）作⊙M的切线，切点为B点，已知：．
（1）求⊙M的半径r；
（2）求点B的坐标；
（3）若抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、M三点，求此抛物线的解析式；
（4）在y轴上是否存在点C，使△ABC为直角三角形？若存在，请求出C点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）可连接BM，根据sin∠A的正弦值，可得出BM：AM=1：2，也就是AM=2BM=OM+OA=BM+OA，因此BM=OA，即可求出r的值．
（2）可过B作BN⊥AM于N，那么ON就是B的横坐标的绝对值，BN就是B的纵坐标．在直角三角形BMN中，已求的了半径的长，又可求得∠BMA=60°，即可求出BN，MN的长，也就求出了ON的长，进而可得出B点的坐标．
（3）已经求的了A，B，M的坐标，可用待定系数法求二次函数的解析式（可用交点式的二次函数通式来设二次函数）
（4）要分三种情况进行讨论：
①当∠ABC=90°时，那么C点就在BM所在直线上，可在直角三角形MOC中，根据OM和∠CMO的度数求出OC的长，即可得出C的坐标．
②当∠BAC=90°时，那么∠OAC=60°，在直角三角形OAC中可根据OA的长求出OC的长，也就得出了C点的坐标
③当∠BCA=90°时，那么AB是斜边，可设出C的坐标，然后用坐标系中两点的距离公式分别表示出AC2，BC2，AB2，然后根据勾股定理即可求出C的坐标．
【解析】
（1）连接BM，则∠MBA=90°．
直角三角形MBA中，sin∠A==，BM=r，MA=OM+AO=r+2．
因此=，r=2．

（2）过B作BN⊥AM于N，
∵sin∠A=30°
∴∠A=∠MBN=30°，∠BMN=60°
直角三角形BMN中，BM=2，∠BMN=60°，
因此MN=1，BN=．
∴ON=OM-MN=1
因此B的坐标是（-1，）．

（3）由于OM=2，
因此M的坐标是（-2，0）．
设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x+2），
由于抛物线过B（-1，）
可得：a（1-4）=，a=-
因此抛物线的解析式为y=-x2+．

（4）可分三种情况：
①当∠ABC=90°时，C在直线BM上，
直角三角形MCO中，∠CMO=60°，OM=2，
因此OC=2，即C点的坐标为（0，2）
②当∠BAC=90°时，那么∠OAC=90°-∠BAM=60°，直角三角形OAC中
OC=OA•tan60°=2，即C点的坐标为（0，-2）
③当∠BCA=90°时，设C点坐标为（0，y），则
AC2=4+y2，BC2=（-y）2+1，AB2=3+9=12，
根据勾股定理可得：BC2+AC2=AB2
4+y2+（-y）2+1=12，
解得y=，
综上所述，C点的坐标应该是（0，±2）和（0，）．