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(2009•包头)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1,...

(2009•包头)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(1,0),B(2,0),C(0,-2),直线x=m(m>2)与x轴交于点D.
(1)求二次函数的解析式;
(2)在直线x=m(m>2)上有一点E(点E在第四象限),使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,求E点坐标(用含m的代数式表示);
(3)在(2)成立的条件下,抛物线上是否存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形?若存在,请求出m的值及四边形ABEF的面积;若不存在,请说明理由.

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(1)已知函数的图象经过A,B,C三点,把三点的坐标代入解析式就可以得到一个三元一次方程组,就可以求出函数的解析式; (2)E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似,这两个三角形都是直角三角形,因而应分△AOC∽△EDB和△AOC∽△BDE两种情况讨论.△AOC的三边已知,△BDE中,BD=m-2,而DE=-m.根据相似三角形的对应边的比相等,就可以求出m的值; (3)四边形ABEF是平行四边形,因而EF=AB,且这两个点的纵坐标相同,E点的纵坐标是m,把x=m代入抛物线的解析式就可以求出点F的横坐标,则EF的长就可以求出.根据EF=AB就可以得到一个关于m的方程,解方程就可以求出m的值.若m的值存在,就可以求出四边形的面积. 【解析】 (1)根据题意,得 解得a=-1,b=3,c=-2. ∴y=-x2+3x-2.(2分) (2)当△EDB∽△AOC时, 得或, ∵AO=1,CO=2,BD=m-2, 当时,得, ∴, ∵点E在第四象限, ∴.(4分) 当时,得, ∴ED=2m-4, ∵点E在第四象限, ∴E2(m,4-2m).(6分) (3)假设抛物线上存在一点F,使得四边形ABEF为平行四边形,则EF=AB=1,点F的横坐标为m-1, 当点E1的坐标为时,点F1的坐标为(m-1,), ∵点F1在抛物线的图象上, ∴=-(m-1)2+3(m-1)-2, ∴2m2-11m+14=0, ∴(2m-7)(m-2)=0, ∴m=,m=2(舍去), ∴, ∴S平行四边形ABEF=1×.(9分) 当点E2的坐标为(m,4-2m)时,点F2的坐标为(m-1,4-2m), ∵点F2在抛物线的图象上, ∴4-2m=-(m-1)2+3(m-1)-2, ∴m2-7m+10=0, ∴(m-2)(m-5)=0, ∴m=2(舍去),m=5, ∴F2(4,-6), ∴S平行四边形ABEF=1×6=6.(12分) 注:各题的其它解法或证法可参照该评分标准给分.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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