Question

（2010•普洱）如图，已知点A（-3，0）和B（1，0），直线y=kx-4经过点A并且与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）半径为1个单位长度的动圆⊙P的圆心P始终在抛物线的对称轴上．当点P的纵坐标为5时，将⊙P以每秒1个单位长度的速度在抛物线的对称轴上移动．那么，经过几秒，⊙P与直线AC开始有公共点？经过几秒后，⊙P与直线AC不再有公共点？

Answer

（1）直线AC的解析式中，令x=0，即可求出C点的坐标．
（2）已知了抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求得该抛物线的解析式，进而可用公式法或配方法求出抛物线的对称轴方程．
（3）设当直线与圆开始有交点时，此圆为⊙P1，直线与与圆开始没有交点时，圆为⊙P2，那么欲求时间就必须求出PP1、PP2的值，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与直线AC交于点N；易求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式可求得点N的坐标，即可得MN的长，设⊙P1、⊙P2与直线AC的切点分别为D、E，易证得△NDP1∽△COA，根据相似三角形的比例线段即可求得P1N的值，从而由P1M=MN-NP1求得点P1的坐标，同理可求得点P2的坐标，已知了P点的纵坐标，即可求得PP1、PP2的长，由此得解．
【解析】
（1）令x=0，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）．

（2）设过A（-3，0），B（1，0），C（0，-4）的函数解析式为：y=a（x+3）（x-1），
则有：a（0+3）（0-1）=-4，
即a=，
∴抛物线的解析式为：y=（x+3）（x-1）=x2+x-4，
对称轴为x=-，即x=-1．

（3）在Rt△MOC中，OA=3，OC=4，
∴CA===5，
当⊙P向上移动时，永远不会与直线AC由公共点；
当⊙P向下移动时，设⊙P与直线AC有一个公共点的位置如图中的⊙P1和⊙P2；
⊙P1与直线AC相切于点D，⊙P2与直线AC相切于点E，连接P1D；
则∠NDP1=90°，又∵MN∥OC，∴∠DNP1=∠ACO；
又∵∠NDP1=∠COA=90°，∴△NDP1∽△COA，
∴，=，NP1=；
同理NP2=，把A（-3，0）代入y=kx-4中，-3k-4=0得k=-；
∴直线y=-x-4，把x=-1代入上式，得y=-；
∴MN=|-|=，
∴MP1=MN-NP1=-=1，
∴PP1=PM+MP1=5+1=6；
PP2=PP1+2NP1=6+2×=9，tP→P1=6÷1=6（秒），tP→P2=9÷1=9（秒）；
综上所述，经过6秒⊙P与直线AC开始有公共点，经过9秒后，⊙P与直线AC不再有公共点．