（2010•拱墅区二模）如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O为BC边...

（2010•拱墅区二模）如图，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，O为BC边上一点，以O为圆心，OB为半径作半圆与AB边交于点D，连接CD，若CD恰好是⊙O的切线：
（1）求证：△CAD是等腰三角形；
（2）若AC=3，BC=5，求⊙O的半径r．

（1）连接OD，根据切线的性质，∠CDO=90°，所以∠1与∠4互余，又因为△ABC是直角三角形，所以∠2与∠3互余，在圆中半径相等，所以∠1=∠2，从而证得∠3=∠4，所以△CAD是等腰三角形．（2）利用（1）的结论，知道DC=3，在Rt△CDO中，利用勾股定理，列出方程，即可求出r．（1）证明：连接OD，则∠1=∠2， ∵CD是⊙O的切线， ∴∠CDO=90°， ∴∠1与∠4互余，在Rt△ABC中，∠2与∠3互余， ∴∠3=∠4， ∴AC=CD，即△CAD为等腰三角形．（2）【解析】由（1）知，AC=CD=3，又BC=5，所以OC=5-r，在Rt△CDO中：CD2+OD2=CO2，即32+r2=（5-r）2，解得r=1.6．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等