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(2009•西城区一模)已知:反比例函数manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网在平面直角坐标系xOy第一象限中的图象如图所示,点A在manfen5.com 满分网的图象上,AB∥y轴,与manfen5.com 满分网的图象交于点B,AC、BD与x轴平行,分别与manfen5.com 满分网manfen5.com 满分网的图象交于点C、D.
(1)若点A的横坐标为2,求梯形ACBD的对角线的交点F的坐标;
(2)若点A的横坐标为m,比较△OBC与△ABC的面积的大小,并说明理由;
(3)若△ABC与以A、B、D为顶点的三角形相似,请直接写出点A的坐标.

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(1)首先根据点A的横坐标和双曲线的解析式,可以分别求得点A、B、C、D四个点的坐标.根据点C、D的坐标可以运用待定系数法求得直线CD的解析式,根据题意,得点F的横坐标是2,再进一步把x=2代入直线CD的解析式即可求得点F的纵坐标; (2)根据(1)中的方法可以用m表示出A、B、C、D四个点的坐标,从而求得直角三角形ABC的面积;由于三角形OBC的形状不规则,可以对其面积进行转换.作BM⊥x轴于点M.作CN⊥x轴于点N.根据反比例函数的解析式可知:S△OCN=S△OBM=1.所以该三角形的面积即为梯形CNMB的面积,根据梯形的面积公式进行计算,再进一步比较其大小; (3)根据两个三角形相似,则夹直角的两组对应边的比应相等,即AB2=AC•BD,再结合(2)中的坐标计算出线段的长度,列方程得m4=16,又m>0,则m=2. 【解析】 (1)如图,由题可知,当点A的横坐标为2时,点A、B、C、D的坐标分别为A(2,4),B(2,1),C(,4),D(8,1).(1分) 解一:直线CD的解析式为.(2分) ∵AB∥y轴,F为梯形ACBD的对角线的交点, ∴x=2时,. ∴点F的坐标为.(3分) 解二:. ∵梯形ACBD,AC∥BD,F为梯形ACBD的对角线的交点, ∴△ACF∽△BDF. ∴. ∴,,点F的纵坐标为.(2分) ∴点F的坐标为;(3分) (2)如图,作BM⊥x轴于点M.作CN⊥x轴于点N.当点A的横坐标为m时,点A、 B、C、D的坐标分别为. .(4分) S△OBC=S梯形CNMB+S△OCN-S△OBM=S梯形CNMB=(5分) ∴S△OBC>S△ABC;(6分) (3)点A的坐标为(2,4).(7分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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