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(2006•茂名)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,D是BC的中点,连接...

(2006•茂名)如图,已知△ABC内接于⊙O,AB是直径,D是BC的中点,连接DO并延长到F使AF=OC.
(1)写出图中所有全等的三角形(不用证明);
(2)探究:当∠1等于多少度时,四边形OCAF是菱形?请回答并给予证明.

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(1)根据全等三角形的判定,和圆的性质,可判定△ODB≌△ODC; (2)要四边形OCAF是菱形,需OC=CA=AF=OF,即△AOC为等腰三角形,∠2=60°,那么∠1=30°. 【解析】 (1)△ODB≌△ODC,△AOC≌△AOF. 证明:∵AF=OC=OF=AO, ∴三角形AOF为等边三角形, ∴∠3=60°,且∠3=∠DOB=60°, 又∵D是BC的中点,∴DF⊥BC, ∴∠1=30°; ∵∠2=60°, ∴△AOC是等边三角形, ∵△AOF是等边三角形,AF=OC=OF=AO, ∴△AOC≌△AOF; (2)当∠1=30°时,四边形OCAF是菱形.(6分) 方法一: ∵∠1=30°AB是直径, ∴∠BCA=90°, ∴∠2=60°,而OC=OA, ∴△OAC是等边三角形,(8分) ∴OA=OC=CA, 又∵D,O分别是BC,BA的中点, ∴DO∥CA,∴∠2=∠3=60°而OC=OA=AF. ∴△OAF是等边三角形, ∴AF=OA=OF,(9分) ∴OC=CA=AF=OF, ∴四边形OCAF是菱形.(10分) 方法二: ∵∠1=30°,AB是直径, ∴∠BCA=90°, ∴∠2=∠OCA=60°, ∴∠4=60°, ∴△OCA是正三角形,OC=CA.(8分) 又∵D,O分别是BC,BA的中点, ∴DO∥CA, ∴∠5=∠OCA=60°. ∵∠3=180°-∠4-∠5=60°, 又∵AF=OC=OA, ∴∠3=∠AFO=60°, ∴∠AFO=∠5=60°. ∴OC∥AF.(9分) 又∵OC=AF,而OC=CA, ∴四边形OCAF是菱形.(10分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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