Question

如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A点，交y轴于B点，点C是线段AB的中点，连接OC，然后将直线OC绕点C顺时针旋转30°交x轴于点D，再过D点作直线DC₁∥OC，交AB与点C₁，然后过C₁点继续作直线D₁C₁∥OC，交x轴于点D₁，并不断重复以上步骤，记△OCD的面积为S₁，△DC₁D₁的面积为S₂，依此类推，后面的三角形面积分别是S₃，S₄…，那么S₁=    ，若S=S₁+S₂+S₃+…+S_n，当n无限大时，S的值无限接近于    ．

Answer

根据直线AB的解析式，易得OB=，OA=3，即∠OBA=60°，而C是Rt△OAB的中点，那么易得△OCB是等边三角形，则∠COD=30°，OC=；
（1）首先求△OCD的面积，已知∠DCO=∠DOC=30°，那么△OCD是等腰三角形，过D作OC的垂线设垂足为E，易得OE的长，通过解直角三角形可求得DE的值，从而根据三角形的面积公式得到△OCD的面积；
（2）求S的值，需要从整体出发；过O作OC∥DC，那么OC⊥AB，易可求出△OCB、△OCC的值，通过观察，△OCC、△DCC1、△D1C1D2…都是相似三角形，△ODC、△OD1C1、△D1C2D2…也都是相似三角形，因此上述两种相似三角形的面积和将△OC0A的面积分为两部分，且它们的比为△OCC与△ODC的面积比，可据此求出S的值．
【解析】
过O作OC⊥AB于C0，过D作DE⊥OC于E；
由直线AC的解析式可知：
当y=0时，x=3，则OA=3；
当x=0时，x=，则OB=；
故∠OBA=60°，∠OAB=30°；
由于C是Rt△AOB斜边AB的中点，
所以OC=CB，则△OBC是等边三角形；
∴∠BOC=60°，∠DOC=∠DCO=30°；
∴OE=CE=；

（1）△ODE中，OE=，∠DOE=30°，
则DE=，S△OCD=OC•DE=；

（2）易知：S△AOB=OA•OB=，S△BOC=S△AOB=，S△OBC0=S△OCC0=S△OBC=；
∴S△OC0A=S△OAB-S△OBC0=-=；
由题意易得：△OCC、△DCC1、△D1C1D2…都相似，△ODC、△OD1C1、△D1C2D2…也都相似；
设△OCC、△DCC1、△D1C1D2…的面积和为S′，则：
S′：S=S△OC0C：S△OCD=：=3：2，
∴S=S△OC0A=×=；
故答案为：，．