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在平面直角坐标系中点A(0,2)C(4,0),AB∥x轴,△ABC是直角三角形,...

在平面直角坐标系中点A(0,2)C(4,0),AB∥x轴,△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.
(1)求出点B的坐标,并求出过A,B,C三点的抛物线的函数解析式;
(2)将△ABC直线AB翻折,得到△ABC1,再将△ABC1绕点A逆时针旋转90度,得到△AB1C2.请求出点C2的坐标,并判断点C2是否在题(1)所求的抛物线的图象上;
(3)将题(1)中的抛物线平移得到新的抛物线的函数解析式为y=ax2-mx+2m,并使抛物线的顶点落在△ABC的内部或者边上,请求出此时m的取值范围.

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(1)过C作CD⊥AB于D,根据A、C的坐标,易求得AD、CD的长,在Rt△ACB中,CD⊥AB,利用射影定理可求得BD的长(也可利用相似三角形得到),由此求得点B的坐标,进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式; (2)根据△ABC的两次旋转变化可知AB1落在y轴上,可过C2作C2D1⊥AB1,根据△ACD≌△AC2D1得AD1、CD1的长,从而求出点C2的坐标,然后将其代入抛物线的解析式中进行验证即可; (3)在(1)题中求得了抛物线的二次项系数,即可用m表示出平移后的抛物线顶点坐标,得,由于此顶点在△ACB的边上或内部,因此顶点横坐标必在0≤m≤5的范围内,然后分三种情况考虑: ①顶点纵坐标应小于或等于A、B的纵坐标. ②求出直线AC和直线x=m的交点纵坐标,那么顶点纵坐标应该大于等于此交点纵坐标. ③求出直线BC和直线x=m的交点纵坐标,方法同②. 结合上面四个不等关系式,即可得到m的取值范围. 【解析】 (1)作CD⊥AB交AB于点D; 由△ACD∽△BCD得到BD=1,所以AB=5, 又因为AB∥x轴, 所以点B的坐标为(5,2)(2分) 设函数解析式为:y=ax2+bx+c,把A,B,C三点代入得: 所以;(3分) (2)作C2D1⊥AB1; 由△ACD≌△AC2D1得: C2D1=2,AD1=4, 所以C2(-2,6)(2分) 把x=-2代入得y=9, 所以点C2不在抛物线上;(1分) (3)由题(1)可知, 所以顶点坐标为;(1分) 直线AC的解析式为,把x=m代入 得, 直线BC的解析式为y=2x-8,把x=m代入 得y=2m-8, 因为顶点在三角形内部或者边上, 所以0≤m≤5, ①,解得m可以取任意实数; ②,解得1≤m≤4(可以图象法解); ③,解得-4≤m≤4; 得出其中任意2个不等式给(1分),4个(2分) 所以m的取值范围是1≤m≤4.(1分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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