Question

如图，正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．
（1）若某函数是一次函数y=x+1，求它的图象的所有伴侣正方形的边长；

（2）若某函数是反比例函数，它的图象的伴侣正方形为ABCD，点D（2，m）（m＜2）在反比例函数图象上，求m的值及反比例函数解析式；

（3）若某函数是二次函数y=ax²+c（a≠0），它的图象的伴侣正方形为ABCD，C、D中的一个点坐标为（3，4）．写出伴侣正方形在抛物线上的另一个顶点坐标______，写出符合题意的其中一条抛物线解析式______，并判断你写出的抛物线的伴侣正方形的个数是奇数还是偶数？______．（本小题只需直接写出答案）

Answer

（1）设正方形ABCD的边长为a，当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，可知3a=，求出a，
（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，可知ADE≌△BAO≌△CBF，列出m的等式解出m，
（3）本问的抛物线解析式不止一个，求出其中一个．
【解析】
（1）∵正方形ABCD是一次函数y=x+1图象的其中一个伴侣正方形．
当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时，
∴AO=1，BO=1，
∴正方形ABCD的边长为（1分）
当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时，
设正方形ABCD的边长为a，得3a=
∴（1分）
所以正方形边长为；（1分）

（2）作DE、CF分别垂直于x、y轴，

知△ADE≌△BAO≌△CBF（1分）
此时，m＜2，DE=OA=BF=m
OB=CF=AE=2-m
∴OF=BF+OB=2
∴C点坐标为（2-m，2）（1分）
∴2m=2（2-m）
解得m=1（1分）
反比例函数的解析式为y=；（1分）

（3）根据题意画出图形，如图所示：
过C作CF⊥x轴，垂足为F，过D作DE⊥CF，垂足为E，
∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC，
∵C（3，4），即CF=4，OF=3，
∴EG=3，DE=4，故DG=DE-GE=DE-OF=4-3=1，
则D坐标为（-1，3）；设过D与C的抛物线的解析式为：y=ax2+b，
把D和C的坐标代入得：，
解得，
∴满足题意的抛物线的解析式为y=x2+；
同理可得D的坐标可以为：（7，-3）；（-4，7）；（4，1），（3分）
对应的抛物线分别为；；，（1分）
所求的任何抛物线的伴侣正方形个数为偶数．（1分）