Question

（2006•陕西）王师傅有两块板材边角料，其中一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①）．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理的限制，要求裁出的矩形要以点B为一个顶点．
（1）求FC的长；
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm²）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．

Answer

（1）由图形结构可知DE∥CG，容易想到用相似三角形的性质解答；
（2）画出图形，根据P点位置，分三种情况讨论：①点P在AE上，②点P在EF上，③点P在FC上．通过观察，易得①③；利用相似三角形的性质可计算出②．利用正方形面积公式，将面积最值问题转化为一元二次方程最值问题解答．
【解析】
（1）由题意，得△DEF∽△CGF，
∴=，
又∵DE=AD-AE=60-30=30，DF=DC-FC=60-FC，CG=120-60=60，
∴=，
∴FC=40（cm）；（3分）

（2）如图，设矩形顶点B所对顶点为P，则
①当顶点P在AE上时，x=60，y的最大值为60×30=1800（cm2）．（4分）
②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M．
根据题意，得△GFC∽△GPN．
∴=，
∴NG=x，
∴BN=120-x．
∴y=x（120-x）=-（x-40）2+2400．
∴当x=40时，y的最大值为2400（cm2）．（7分）
③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2400（cm2）．（8分）
综合①②③，
得x=40cm时，矩形的面积最大，最大面积为2400cm2；（9分）

（3）根据题意，正方形的面积y（cm2）与边长x（cm）满足的函数表达式为：y=x（120-x）=-x2+120x．
当y=x2时，正方形的面积最大，
∴x2=-x2+120x．
解之，得x1=0（舍），x2=48（cm）．
∴面积最大的正方形的边长为48cm．（12分）