Question

如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在CD、AB的延长线上，且AE=AD，CF=CB．求证：四边形AFCE是平行四边形．

Answer

根据已知的平行四边形的性质和等边对等角的性质，结合已知条件，可以证明△ADE≌△CBF，根据全等三角形的性质，可以证明四边形AFCE的两组对边分别平行，或证明四边形的一组对边平行且相等，或证明四边形的两组对角分别相等，则可证明该四边形是平行四边形．
证明：方法一：∵AE=AD，CF=CB，
∴∠E=∠ADE，∠CBF=∠F．
在▱ABCD中，∠ADC=∠ABC，
∴∠ADE=∠CBF．
∴∠E=∠F．
在▱ABCD中，CD∥AB，
∴∠E+∠EAF=180°，
∴∠F+∠EAF=180°．
∴AE∥CF．
又∵CE∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
方法二（主要步骤）：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADC=∠ABC，
又∵AE=AD，CF=CB，
∴AE=AD=CF=CB，
∴∠E=∠ADE=∠F=∠CBF，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴DE=BF，
∴CE=AF．
又∵CE∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形．