Question

（2009•鄂州）在⊙O中，已知⊙O的直径AB为2，弦AC长为，弦AD长为．则DC²=    ．

Answer

根据垂径定理和勾股定理可得．
【解析】
连接AD，AC，BC，BD，
∵直径AB=2，弦AC=，弦AD=
∴BC2=（AB2-AC2）=22-（）2=1，
BD2=（AB2-AD2）=22-（）2=2，
∴BC=1，BD=
∴∠ABC=60°，∠ABD=45°，
过点C作CP⊥AB交于点P，作CQ⊥DQ交于点Q，
则BP=，OQ=CP=，OP=，
如果弦AC，AD在同一个半圆，
则DQ=OD-OQ=1-=
∴CD2=DQ2+QC2=DQ2+OP2=（）2+（）2=2-．
如果弦AC，AD分别在两个半圆，
则DQ=OD+OQ=1+=
∴CD2=DQ2+QC2=DQ2+OP2=（）2+（）2=2+．
故答案为 2+或 2-．
【解析】
连接AD，AC，BC，BD，
∵直径AB=2，弦AC=，弦AD=
∴BC2=（AB2-AC2）=22-（）2=1，
BD2=（AB2-AD2）=22-（）2=2，
∴BC=1，BD=
∴∠ABC=60°，∠ABD=45°，
∵∠OQB=90°，
∴∠QOB=45°，
∴OP=CP，QO=BQ，BO=CO，
∴△COP≌△BOQ，
∴QO=CP，
过点C作CP⊥AB交于点P，作CQ⊥DB交于点Q，
则BP=，OQ=CP=，OP=，
如果弦AC，AD在同一个半圆，
则DQ=OD-OQ=1-=
∴CD2=DQ2+QC2=DQ2+OP2=（）2+（）2=2-．
如果弦AC，AD分别在两个半圆，
则DQ=OD+OQ=1+=
∴CD2=DQ2+QC2=DQ2+OP2=（）2+（）2=2+．
故填或．