Question

（2009•黄冈）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²-x-10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．
（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；
（3）当0＜t＜时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；
（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．

Answer

（1）已知抛物线的解析式，当x=0时，可求得B的坐标；由于BC∥OA，把B的纵坐标代入抛物线的解析式，可求出C的坐标；当y=0时，可求出A的坐标．求顶点坐标时用公式法或配方法都可以；
（2）当四边形ACQP是平行四边形时，AP、CQ需满足平行且相等的条件．已知BC∥OA，只需求t为何值时，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值；
（3）当0＜t＜时，根据OA=18，P点的速度为4单位/秒，可得出P点总在OA上运动．△PQF中，Q到PF的距离是定值即OB的长，因此只需看PF的值是否有变化即可得出S△PQF是否为定值，已知QC∥PF，根据平行线分线段成比例定理可得出：，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的长为定值即PF的长为定值，因此△PQF的面积是不会变化的．其面积的值可用OA•OB求出；
（4）可先用t表示出P，F，Q的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式得出PF2，PQ2，FQ2，进而可分三种情况进行讨论：
①△PFQ以PF为斜边．则PF2=PQ2+FQ2，可求出t的值．
②△PFQ以PQ为斜边，方法同①
③△PFQ以FQ为斜边，方法同①．
综合三种情况即可得出符合条件的t的值．
【解析】
（1）y=（x2-8x-180），
令y=0，得x2-8x-180=0，
即（x-18）（x+10）=0，
∴x=18或x=-10．
∴A（18，0）
在y=x2-x-10中，令x=0得y=-10，
即B（0，-10）．
由于BC∥OA，
故点C的纵坐标为-10，
由-10=x2-x-10得，
x=8或x=0，
即C（8，-10）且易求出顶点坐标为（4，），
于是，A（18，0），B（0，-10），C（8，-10），顶点坐标为（4，）；

（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA．
故只要QC=PA即可，
而PA=18-4t，CQ=t，
故18-4t=t得t=；

（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0＜t＜4.5，
说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，
由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故
∵AF=4t=OP
∴PF=PA+AF=PA+OP=18
又∵点Q到直线PF的距离d=10，
∴S△PQF=PF•d=×18×10=90，
于是△PQF的面积总为90；

（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8-t，-10）t∈（0，4.5）．
∴PQ2=（4t-8+t）2+102=（5t-8）2+100
FQ2=（18+4t-8+t）2+102=（5t+10）2+100．
①若FP=FQ，则182=（5t+10）2+100．
即25（t+2）2=224，（t+2）2=．
∵0≤t≤4.5，
∴2≤t+2≤6.5，
∴t+2==．
∴t=-2，
②若QP=QF，则（5t-8）2+100=（5t+10）2+100．
即（5t-8）2=（5t+10）2，无0≤t≤4.5的t满足．
③若PQ=PF，则（5t-8）2+100=182．
即（5t-8）2=224，由于≈15，又0≤5t≤22.5，
∴-8≤5t-8≤14.5，而14.52=（）2=＜224．
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
注：也可解出t=＜0或t=＞4.5均不合题意，
故无0≤t≤4.5的t满足此方程．
综上所述，当t=-2时，△PQF为等腰三角形．