Question

（2009•常德）如图1，若△ABC和△ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，△AMN是等边三角形．

（1）当把△ADE绕A点旋转到图2的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（2）当△ADE绕A点旋转到图3的位置时，△AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，△ADE与△ABC及△AMN的面积之比；若不是，请说明理由．

Answer

（1）可以利用SAS判定△ABE≌△ACD，全等三角形的对应边相等，所以CD=BE．
（2）可以证明△AMN是等边三角形，AD=a，则AB=2a，根据已知条件分别求得△AMN的边长，因为△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，所以面积比等于边长的平方的比．
【解析】
（1）CD=BE．理由如下：（1分）
∵△ABC和△ADE为等边三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC，
∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC，
∴∠BAE=∠DAC，（3分）
∴△DAC≌△EAB（SAS），
∴CD=BE．（4分）

（2）△AMN是等边三角形．理由如下：（5分）
∵△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD
∵M、N分别是BE、CD的中点，
∴BM=BE=CD=CN，
∵AB=AC，∠ABE=∠ACD，
∴△ABM≌△ACN．
∴AM=AN，∠MAB=∠NAC．（6分）
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形．（7分）
设AD=a，则AB=2a．
∵AD=AE=DE，AB=AC，
∴CE=DE．
∵△ADE为等边三角形，
∴∠DEC=120°，∠ADE=60°，
∴∠EDC=∠ECD=30°，
∴∠ADC=90°．（8分）
∴在Rt△ADC中，AD=a，∠ACD=30°，
∴CD=a．
∵N为DC中点，
∴DN=，
∴AN=．（9分）
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（）2=1：4：=4：16：7（10分）

解法二：△AMN是等边三角形．理由如下：（5分）
∵△ABE≌△ACD，M、N分别是BE、CD的中点，
∴AM=AN，NC=MB．
∵AB=AC，
∴△ABM≌△ACN，
∴∠MAB=∠NAC，
∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°，
∴△AMN是等边三角形，（7分）
设AD=a，则AD=AE=DE=a，AB=BC=AC=2a，
易证BE⊥AC，
∴BE=，
∴EM=，
∴AM=，
∵△ADE，△ABC，△AMN为等边三角形，
∴S△ADE：S△ABC：S△AMN=a2：（2a）2：（）2=1：4：=4：16：7．（10分）