Question

（2009•郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），且P（-1，-2）为双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．
（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；
（2）当点Q在直线MO上运动时，直线MO上是否存在这样的点Q，使得△OBQ与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，当点Q在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP、OQ为邻边的平行四边形OPCQ，求平行四边形OPCQ周长的最小值．

Answer

（1）正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（-2，-1），设出正比例函数和反比例函数的解析式，运用待定系数法可求它们解析式；
（2）因为P（-1，-2）为双曲线Y=上的一点，所以△OBQ、△OAP面积为1，依据反比例函数的图象和性质，点Q在双曲线上，即符合条件的点存在，是正比例函数和反比例函数的图象的交点；
（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值．
【解析】
（1）设正比例函数解析式为y=kx，
将点M（-2，-1）坐标代入得k=，所以正比例函数解析式为y=x，
同样可得，反比例函数解析式为；

（2）当点Q在直线OM上运动时，
设点Q的坐标为Q（m，m），
于是S△OBQ=OB•BQ=×m×m=m2，
而S△OAP=|（-1）×（-2）|=1，
所以有，m2=1，解得m=±2，
所以点Q的坐标为Q1（2，1）和Q2（-2，-1）；

（3）因为四边形OPCQ是平行四边形，所以OP=CQ，OQ=PC，
而点P（-1，-2）是定点，所以OP的长也是定长，
所以要求平行四边形OPCQ周长的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）
因为点Q在第一象限中双曲线上，所以可设点Q的坐标为Q（n，），
由勾股定理可得OQ2=n2+=（n-）2+4，
所以当（n-）2=0即n-=0时，OQ2有最小值4，
又因为OQ为正值，所以OQ与OQ2同时取得最小值，
所以OQ有最小值2，由勾股定理得OP=，
所以平行四边形OPCQ周长的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．（10分）