Question

（2010•杭州）给出下列命题：
命题1：点（1，1）是直线y=x与双曲线y=的一个交点；
命题2：点（2，4）是直线y=2x与双曲线y=的一个交点；
命题3：点（3，9）是直线y=3x与双曲线y=的一个交点；
（1）请观察上面命题，猜想出命题n（n是正整数）；
（2）证明你猜想的命题n是正确．

Answer

（1）由已知的命题1，命题2，命题3要猜想出命题n，首先要发现它们的共同点或不变的内容：叙述的都是点（x，y）是直线y=kx与双曲线的交点，然后要找到它们变化的内容及变化的规律：这个点的坐标在变，其中横坐标x=n，纵坐标y=n2；直线的解析式在变，其中k=n，双曲线的解析式也在变，其中m=n3．从而写出命题n；
（2）把x=n分别代入y=nx与y=，分别计算出对应的y值，然后与n2比较即可．
【解析】
（1）命题n：点（n，n2）是直线y=nx与双曲线y=的一个交点（n是正整数）；

（2）把代入y=nx，左边=n2，右边=n•n=n2，
∵左边=右边，
∴点（n，n2）在直线上．（2分）
同理可证：点（n，n2）在双曲线上，
∴点（n，n2）是直线y=nx与双曲线y=的一个交点，命题正确．（1分）