Question

（2010•杭州）在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y=+1，点C的坐标为（-4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上．
（1）写出点M的坐标；
（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．
①求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
②当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值．

Answer

（1）由于四边形ABCO是平行四边形，那么对边AB和OC相等，由此可求出AB的长，由于A、B关于抛物线的对称轴（即y轴）对称，由此可得到A、B的横坐标，将它们代入抛物线的解析式中即可求出A、B的坐标，也就得到了M点的坐标；
（2）①根据C、M的坐标，易求得OM、OC的长；过Q作QH⊥x轴于H，易证得△HQP∽△OMC，根据相似三角形得到的比例线段，即可求出t、x的函数关系式；
在求自变量的取值范围时，可参考两个方面：一、P、C重合时，不能构成四边形PCMQ；二、Q与B或A重合时，四边形PCMQ是平行四边形；只要x不取上述两种情况所得的值即可；
②由于CM、PQ的长不确定，因此要分类讨论：
一、CM＞PQ，则CM：PQ=2：1，由（2）的相似三角形知OM=2QH，即M点纵坐标为Q点纵坐标的2倍，由此可求得t的值；
二、CM＜PQ，则CM：PQ=1：2，后同一．
【解析】
（1）∵OABC是平行四边形，∴AB∥OC，且AB=OC=4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，
∴A，B的横坐标分别是2和-2，
代入y=+1得，A（2，2），B（-2，2），
∴M（0，2），（2分）

（2）①过点Q作QH⊥x轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=x-t，
由△HQP∽△OMC，得：=，即：t=x-2y，
∵Q（x，y）在y=+1上，
∴t=-+x-2．（2分）
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=-4，解得x=1±，
当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=±2
∴x的取值范围是x≠1±，且x≠±2的所有实数；（2分）
②连接MC．分两种情况讨论：
∵CM∥PQ，
∴∠QPC=∠MCO，
∵∠COM=∠PHQ=90°，
∴△HQP∽△OMC，
（1）当CM＞PQ时，则点P在线段OC上，
∵CM∥PQ，CM=2PQ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2（+1），解得x=0，
∴t=-+0-2=-2；（2分）
（2）当CM＜PQ时，则点P在OC的延长线上，
∵CM∥PQ，CM=PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2×2，
解得：x=±2；（2分）
当x=-2时，得t=--2-2=-8-2，
当x=2时，得t=2-8．