Question

（2009•厦门）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，P是△OAC的重心，且OP=，∠A=30度．
（1）求劣弧的长；
（2）若∠ABD=120°，BD=1，求证：CD是⊙O的切线．

Answer

（1）要求劣弧的长，只需求出∠AOC的度数即可，根据∠A=30°结合圆周角定理，易得∠AOC=120°，故可求得答案；
（2）已知CD与圆交于点C，只需证明OC⊥CD即可．
（1）【解析】
延长OP交AC于E，
∵P是△OAC的重心，OP=，
∴OE=1，（1分）
且E是AC的中点．
∵OA=OC，∴OE⊥AC．
在Rt△OAE中，∵∠A=30°，OE=1，
∴OA=2．（2分）
∴∠AOE=60度．
∴∠AOC=120度．（3分）
∴=π；（4分）

（2）证明：连接BC．
∵E、O分别是线段AC、AB的中点，
∴BC∥OE，且BC=2OE=2=OB=OC．
∴△OBC是等边三角形．（5分）
法1：∠OBC=60度．
∵∠OBD=120°，∴∠CBD=60°=∠AOE．（6分）
∵BD=1=OE，BC=OA，
∴△OAE≌△BCD．（7分）
∴∠BCD=30度．
∵∠OCB=60°，
∴∠OCD=90度．（8分）
∴CD是⊙O的切线．（9分）

法2：过B作BF∥DC交CO于F．
∵∠BOC=60°，∠ABD=120°，
∴OC∥BD．（6分）
∴四边形BDCF是平行四边形．（7分）
∴CF=BD=1．
∵OC=2，
∴F是OC的中点．
∴BF⊥OC．（8分）
∴CD⊥OC．
∴CD是⊙O的切线．（9分）