Question

（2010•绍兴）如图，已知△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，D是的中点，过点D作直线BC的垂线，分别交CB、CA的延长线E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若EF=8，EC=6，求⊙O的半径．

Answer

（1）要证EF是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥EF即可．
（2）先根据勾股定理求出CF的长，再根据相似三角形的判定和性质求出⊙O的半径．
（1）证明：连接OD交于AB于点G．
∵D是的中点，OD为半径，
∴AG=BG．（2分）
∵AO=OC，
∴OG是△ABC的中位线．
∴OG∥BC，
即OD∥CE．（2分）
又∵CE⊥EF，
∴OD⊥EF，
∴EF是⊙O的切线．（1分）

（2）【解析】
在Rt△CEF中，CE=6，EF=8，
∴CF=10．（1分）
设半径OC=OD=r，则OF=10-r，
∵OD∥CE，
∴△FOD∽△FCE，
∴，（2分）
∴=，
∴r=，
即：⊙O的半径为．（2分）