Question

已知：点B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n是正整数）均在直线y=3x+1上；点A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n+1（x_n+1，0）顺次为x轴的正半轴上的点，其中x₁=a，且0＜a＜1；若用点A_n、B_n、A_n+1（n为1，2，3，…）构成的三角形都是以A_nA_n+1为底边的等腰三角形，设△A_nB_nA_n+1的面积为S_n，则S₂₀₁₀-S₂₀₀₈=    （用含a的代数式表示）．

Answer

解题的关键在于求出第一个三角形的底边边长，然后依次求出n=1，n=2…并总结出规律．
【解析】
根据题意可以得出A1（a，0）、A2（2-a，0）、A3（2+a，0）、A4（4-a，0）、A5（4+a，0）
那么：n=1时，第一个等腰三角形的底边边长A1A2=2-2a
n=2时，第二个等腰三角形的底边边长A2A3=2a
n=3时，第三个等腰三角形的底边边长A3A4=2-2a
n=4时，第四个等腰三角形的底边边长A4A5=2a
…
当n是偶数时等腰三角形的底边边长是2a
当n是奇数时等腰三角形的底边边长是2-2a
所以n=2008，n=2010时，等腰三角形的底边边长为2a
又B2008（2008，y2008），B2010（2010，y2010）在直线y=3x+1上
所以y2010-y2008=3×（2010-2008）=6
S2010-S2008=×2a×（y2010-y2008）=6a．