Question

如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D，
（1）求证：AT平分∠BAC；
（2）若已知AD=2，TC=，试解答下列问题：
①求⊙O的半径；
②求弦AD、AT与弧TD所围成图形的面积．

Answer

（1）连接OT，证明∠TAC=∠OAT；
（2）首先在直角三角形中解得半径，由题意可知弦AD、AT与弧TD围成的图形的面积等于扇形OTD的面积，找出扇形的圆心角半径，求出面积．
【解析】
（1）连接OT，∵PQ切⊙O于T，
∴OT⊥PQ又AC⊥PQ，
∴OT∥AC．
∴∠TAC=∠OTA=∠OAT．
∴AT平分∠BAC．（4分）

（2）①作OE⊥AC于E，∴四边形OTCE是矩形，
∴，又
由勾股定理得，
∴⊙O的半径为2．（8分）
②∵OT∥AD，且OT=AD=2，
∴四边形ADTO是平行四边形，
∴TD∥AO，
∴△ATD与△OTD的面积相等，
∴弦AD、AT与弧TD围成的图形的面积等于扇形OTD的面积，
∵△ADO是等边三角形，
∴∠TOD=∠ODA=60°，扇形的面积为．（12分）