Question

（2010•嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A₁B₁C₁的顶点A₁与点P重合，第二个△A₂B₂C₂的顶点A₂是B₁C₁与PQ的交点，…，最后一个△A_nB_nC_n的顶点B_n、C_n在圆上．

（1）如图1，当n=1时，求正三角形的边长a₁；
（2）如图2，当n=2时，求正三角形的边长a₂；
（3）如题图，求正三角形的边长a_n（用含n的代数式表示）

Answer

（1）设PQ与B1C1交于点D，连接B1O，得出OD=A1D-OA1，用含a1的代数式表示OD，在△OB1D中，根据勾股定理求出正三角形的边长a1；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接B2O，得出OE=A1E-OA1，用含a2的代数式表示OE，在△OB2E中，根据勾股定理求出正三角形的边长a2；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接BnO，得出OF=A1F-OA1，用含an的代数式表示OF，在△OBnF中，根据勾股定理求出正三角形的边长an．
【解析】
（1）设PQ与B1C1交于点D，连接B1O．
∵△PB1C1是等边三角形，
∴A1D=PB1•sin∠PB1C1=a1•sin60°=a1，
∴OD=A1D-OA1=a1-1，
在△OB1D中，OB12=B1D2+OD2，
∴OD=A1D-OA1=a1-1，
即12=（a1）2+（a1-1）2，
解得a1=；

（2）设PQ与B2C2交于点E，连接B2O．
∵△A2B2C2是等边三角形，
∴A2E=A2B2•sin∠A2B2C2=a2•sin60°=a2，
∵△PB1C1是与△A2B2C2边长相等的正三角形，
∴PA2=A2E=a2，
OE=A1E-OA1=a2-1，
在△OB2E中，OB22=B2E2+OE2，
即12=（a2）2+（a2-1）2，
解得a2=；

（3）设PQ与BnCn交于点F，连接BnO，
得出OF=A1F-OA1=nan-1，
同理，在△OBnF中，OBn2=BnF2+OF2，
即12=（an）2+（nan-1）2，
解得an=．