Question

（2010•东阳市模拟）已知抛物线y=-x²+bx+c经过点A（0，4），且抛物线的对称轴为直线x=2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若该抛物线的顶点为B，在抛物线上是否存在点C，使得A、B、O、C四点构成的四边形为梯形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试问在抛物线上是否存在着点P，使得以3为半径的⊙P既与x轴相切，又与对称轴相交？若存在，请求出点P的坐标，并求出对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据抛物线的对称轴方程可确定b的值，将C点坐标代入抛物线的解析式中，可确定c的值，从而得到该抛物线的解析式．
（2）此题应分两种情况考虑：
①AB∥OC，易求得直线AB的解析式，即可确定直线OC的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点C的坐标；
②AC∥OB，参照①的解题思路，先求出直线OB的解析式，进而可确定直线AC的解析式，再联立抛物线的解析式求出点C的坐标．
（3）由于⊙P半径为3，且与x轴相切，那么点P的纵坐标的绝对值为3，将其代入抛物线的解析式中，即可求得P点的坐标．此时根据点P的坐标、⊙P的半径以及抛物线的对称轴方程，可先确定抛物线对称轴与⊙P的位置关系，若相交，即可由垂径定理和勾股定理求得弦EF的长度．
【解析】
（1）由题意得，
∴b=4、c=4，
∴y=-x2+4x+4．（3分）

（2）y=-（x-2）2+8，B（2，8），
①AB∥OC时，直线AB：y=2x+4，则CO为y=2x；（1分）

解得，
∴，（2分）
②AC∥OB时，直线OB：y=4x，则AC为y=4x+4；

解得，
∴C（0，4），与点A重合，舍去．（1分）

（3）①当点P在x轴上方时，
y=-x2+4x+4=3，
解得x1=2+，x2=2-，
P1（2+，3），P2（2-，3）；
此时P到对称轴直线x=2的距离为＜3，
即⊙P与对称轴相交．（2分）
对称轴被⊙P所截得的弦EF的长度为4．（2分）
②当点P在x轴下方时，y=-x2+4x+4=-3，
解得x1=2+，x2=2-，
P3（2+，-3），P4（2-，-3）
此时P到对称轴直线x=2的距离为＞3，
即⊙P与对称轴不相交．（1分）
其他解法相应给分．