Question

（2009•孝感）如图，点P是双曲线（k₁＜0，x＜0）上一动点，过点P作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线y=（0＜k₂＜|k₁|）于E、F两点．
（1）图1中，四边形PEOF的面积S₁=______（用含k₁、k₂的式子表示）；
（2）图2中，设P点坐标为（-4，3）．
①判断EF与AB的位置关系，并证明你的结论；
②记S₂=S_△PEF-S_△OEF，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．

Answer

（1）由反比例函数的图形和性质可知：四边形OAPB面积为K1，△OAE与△OBF面积之和为K2，可求四边形PEOF的面积；
（2）①根据题意，易写点A、B、E、F坐标，可求线段PA、PE、PB、PF的长，发现PA：PE=PB：PF，又∠APB=∠EPF，依据相似三角形判定，可得△APB∽△EPF，∠PAB=∠PEF，从而得出EF与AB的位置关系．
②如果过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q．由S△EFQ=S△PEF，可得出S2的表达式，然后根据自变量的取值范围得出结果．
【解析】
（1）四边形PEOF的面积S1=四边形PAOB的面积+三角形OAE的面积+三角形OBF的面积=|k1|+k2=k2-k1； （3分）

（2）①EF与AB的位置关系为平行，即EF∥AB．（4分）
证明：如图，由题意可得：
A（-4，0），B（0，3），，，
∴PA=3，PE=，PB=4，PF=
∴，，
∴，（6分）
又∵∠APB=∠EPF，
∴△APB∽△EPF，
∴∠PAB=∠PEF，
∴EF∥AB；（7分）

②S2没有最小值，理由如下：
过E作EM⊥y轴于点M，过F作FN⊥x轴于点N，两线交于点Q，
由上知M（0，），N（，0），Q（，）（8分）
而S△EFQ=S△PEF，
∴S2=S△PEF-S△OEF=S△EFQ-S△OEF
=S△EOM+S△FON+S矩形OMQN
=
=
=，（10分）
当k2＞-6时，S2的值随k2的增大而增大，而0＜k2＜12，（11分）
∵k2=12时S2=24，
∴0＜S2＜24，S2没有最小值．（12分）
故（1）的答案为：k2-k1