Question

已知：抛物线y=x²-（a+2）x+9的顶点在坐标轴上．
（1）求a的值；
（2）若该抛物线的顶点C在x轴的正半轴上，而此抛物线与直线y=x+9交于A，B两点，且A点在B点左侧，P为线段AB上的点（A，B两端点除外）．过点P作x轴的垂线与抛物线交于点Q（可在图中画示意图）．问：
①线段AB上是否存在这样的点P，使得PQ的长等于6？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②线段AB上是否存在这样的点P，使得△ABQ∽△OAC？若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）此题应分两种情况考虑：
①抛物线的顶点在y轴上，那么抛物线的一次项系数为0，可据此求出a的值；
②抛物线的顶点在x轴上，抛物线解析式中，若y=0，则所得方程的判别式△=0，可据此求得a的值．
（2）抛物线的顶点在x轴正半轴上，那么抛物线的对称轴在y轴右侧，根据上述条件结合（1）题的解，可求得a的值，进而确定该抛物线的解析式，再联立直线y=x+9即可求得A、B的坐标；
①设出点P的横坐标，根据抛物线和直线AB的解析式，即可表示出P、Q的纵坐标，进而可得到关于PQ的长和P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得PQ的最大值及对应的P点坐标；
②假设存在符合条件的Q点，由于△ABQ∽△OAC，则∠COA=∠QAB=90°，即QA⊥AB，由于直线AB的斜率为1，即它与x轴的夹角为45°，那么∠QAO=45°，若过Q作QH⊥y轴于H，则△QAH是等腰直角三角形，可设出点Q，进而可表示出QH、AH、OH的长，根据OA=OH+AH=9，即可求得点Q的坐标，此时Q（5，4），显然两个直角三角形的对应直角边是不成比例的，故不存在符合条件的Q点．
【解析】
（1）若抛物线y=x2-（a+2）x+9的顶点在y轴上，得a=-2；（2分）
若抛物线y=x2-（a+2）x+9的顶点在x轴上，
由△=0，得a=4或a=-8．（4分）

（2）根据题意得a=4，此时抛物线为y=x2-6x+9．（5分）
解，
得，；
所以A（0，9），B（7，16）．（7分）
①由于点P在直线y=x+9上，
因此设符合题意的点P的坐标为（t，t+9），
此时对应的点Q的坐标为（t，t2-6t+9），（9分）
由题意得PQ=（t+9）-（t2-6t+9）=6，
解得t=1或6．（11分）
由题意0＜t＜7，点P的坐标为（1，10）或（6，15）；（12分）
②设在线段AB上存在这样的点P，使得△ABQ∽△OAC，
∵∠BAQ=∠AOC=90°，分别过B，Q两点向y轴作垂线，垂足为E，H，
由∠BAQ=90°，注意到直线y=x+9与x轴所夹的锐角为45°，
由QH=AH可求得点Q的坐标为（5，4），但显然AB：AQ≠OA：OC，
∴△ABQ与△OAC不可能相似，（13分）
∴线段AB上不存在符合条件的点P．（14分）