Question

（2009•天水）如左图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c（a＞0）的图象的顶点为D点，与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），OB=OC，tan∠ACO=．
（1）求这个二次函数的表达式．
（2）经过C、D两点的直线，与x轴交于点E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若平行于x轴的直线与该抛物线交于M、N两点，且以MN为直径的圆与x轴相切，求该圆半径的长度．
（4）如图，若点G（2，y）是该抛物线上一点，点P是直线AG下方的抛物线上一动点，当点P运动到什么位置时，△APG的面积最大？求出此时P点的坐标和△APG的最大面积．

Answer

（1）求二次函数的表达式，需要求出A、B、C三点坐标．已知B点坐标，且OB=OC，可知C（0，3），tan∠ACO=，则A坐标为（-1，0）．将A，B，C三点坐标代入关系式，可求得二次函数的表达式．
（2）假设存在这样的点F（m，n），已知抛物线关系式，求出顶点D坐标，今儿求出直线CD，E是直线与x轴交点，可得E点坐标．四边形AECF为平行四边形，则CE∥AF，则两直线斜率相等，可列等式（1），CE=AF，可列等式（2），F在抛物线上，为等式（3），根据这三个等式，即可求出m、n是否存在．
（3）分情况讨论，当圆在x轴上方时，根据题意可知，圆心必定在抛物线的对称轴上，设圆半径为r，则N的坐标为（r+1，r），将其代入抛物线解析式，可求出r的值．当圆在x轴的下方时，方法同上，只是N的坐标变为（r+1，-r），代入抛物线解析式即可求解．
（4）G在抛物线上，代入解析式求出G点坐标，设点P的坐标为（x，y），即（x，x2-2x-3）已知点A、G坐标，可求出线段AG的长度，以及直线AG的解析式，再根据点到直线的距离求出P到直线的距离，即为三角形AGP的高，从而用x表示出三角形的面积，然后求当面积最大时x的值．
【解析】
（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）（1分）
将A、B、C三点的坐标代入
得（2分）
解得：（3分）
所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3（3分）
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）（1分）
设该表达式为：y=a（x+1）（x-3）（2分）
将C点的坐标代入得：a=1（3分）
所以这个二次函数的表达式为：y=x2-2x-3（3分）
（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）

（2）方法一：存在，F点的坐标为（2，-3）（4分）
理由：易得D（1，-4），
所以直线CD的解析式为：y=-x-3
∴E点的坐标为（-3，0）（4分）
由A、C、E、F四点的坐标得：AE=CF=2，AE∥CF
∴以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴存在点F，坐标为（2，-3）（5分）
方法二：易得D（1，-4），所以直线CD的解析式为：y=-x-3
∴E点的坐标为（-3，0）（4分）
∵以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形
∴F点的坐标为（2，-3）或（-2，-3）或（-4，3）
代入抛物线的表达式检验，只有（2，-3）符合
∴存在点F，坐标为（2，-3）（5分）

（3）如图，①当直线MN在x轴上方时，
设圆的半径为R（R＞0），则N（R+1，R），
代入抛物线的表达式，解得（6分）
②当直线MN在x轴下方时，
设圆的半径为r（r＞0），
则N（r+1，-r），
代入抛物线的表达式，
解得（7分）
∴圆的半径为或．（7分）

（4）过点P作y轴的平行线与AG交于点Q，
易得G（2，-3），直线AG为y=-x-1．（8分）
设P（x，x2-2x-3），则Q（x，-x-1），
PQ=-x2+x+2．S△APG=S△APQ+S△GPQ=（-x2+x+2）×3（9分）
当x=时，△APG的面积最大
此时P点的坐标为（，-），S△APG的最大值为．（10分）