Question

如图，把抛物线y=x²与直线y=1围成的图形OABC绕原点O顺时针旋转90°后，再沿x轴向右平移1个单位得到图形O₁A₁B₁C₁，则下列结论错误的有（ ）个．
①点O₁的坐标是（0，1）；②点C₁的坐标是（2，-1）；③四边形OBA₁B₁是矩形；④若连接OC，则梯形OCA₁B₁的面积是3；⑤点A经过的路径长为3；⑥两阴影面积的和是π．

A．2
B．3
C．4
D．5

Answer

首先求出A、B、C的坐标，进而可根据旋转的性质求出A1、B1、C1、O1的坐标；然后再来判断各结论是否正确．
【解析】
易知：A（-1，1），B（0，1），C（1，1）；
∴AB=BC=OB=1，OA=OC=；
根据旋转的性质可得：A1B1=AB=B1C1=1，O1B1=OB=1；
所以O1（1，0），B1（2，0），A1（2，1），C1（2，-1）；
故①错误，②正确；
∵OB=B1A1，且BO⊥x轴，A1B1⊥x轴，
∴A、B、C、A1在同一条直线上；
易知：OB∥A1B1，且OB=A1B1，
∴四边形OBA1B1是平行四边形，又∠BOB1=90°，
∴四边形OBA1B1是矩形；
故③正确；
∵A1B=OB1=2，BC=1，
∴AC=1，S梯形A1COB1=（A1C+OB1）•A1B1=×（1+2）×1=；
故④错误；
点A经过的路径分为两部分：一、以O为圆心OA为半径的圆周的长，二、向右平移1个单位的长；
即：2π×+1=π+1，故⑤错误；
由于阴影部分不是两个半圆，故⑥错误．
所以正确的结论是②③，错误的结论是①④⑤⑥；
故选C．