Question

如图1，在正方形ABOC中，BD平分∠OBC，交OA于点D．
（1）若正方形ABOC的边长为2，对角线BC与OA相交于点E．则：
①BC的长为______

Answer

（1）①根据正方形的性质即可求得对角线BC的长；②BD平分∠OBC，经计算可知△ABD为等腰三角形，所以可知道AD长度，即可求得DE长度；③经计算可知线段OB、BC、DE的长的关系为；
（2）猜想线段OB、B1C1、DE的长的关系为，利用相似三角形即可证明；
（3）根据（2）中条件求出点D和点的B1坐标，代入即可求出直线B1D的解析式．
【解析】
（1）①；（1分）
②；（3分）
③线段OB、BC、DE的长的关系为（5分）
注：只要符合三条线段长度关系的式子都对．

（2）猜想线段OB、B1C1、DE的长的关系为．（6分）
证明如下：过点D作DF⊥OB于F．
∵∠BAC=∠B1AC1=90°，
∴∠B1AB=∠C1AC．
又∵AB=AC，∠B1BA=∠C1CA=90°，
∴△B1BA≌△C1CA（ASA），（7分）
∴B1A=C1A，
∴AB1=B1C1．
∵∠B1DA=∠AOB+∠OB1D=45°+∠OB1D，
∠DB1A=∠DB1C1+∠AB1C1=45°+∠DB1C1，
∵∠OB1D=∠DB1C1，
∴∠B1DA=∠DB1A，
∴AD=AB1=B1C1（8分）
∴OD=DF=DE且AO=OB，
∴AD+OD=OB，
∴B1C1+DE=OB，
∴OB=B1C1+DE．

（3）∵B1E=6，C1E=4，
∴B1C1=10．
由（2）得OB=5+DE=5+DF，（10分）
∴BF=5．
∵B1F=B1E=6，
∴B1B=1，AB1=5，
∴AB=OB==7，
∴DE=2．
∴D的坐标为（2，2），B1的坐标为（0，8），（11分）
∴直线B1D的解析式y=-3x+8．（12分）